从未有过比现在更好的时代去投身数学

数学世界正在燃烧

让我们好好谈谈这件事。感觉整个数学界都在为 AI 在数学中的角色而沸腾。我已经思考这个问题很久了，所以上周我发了一条帖子，征集大家关于这个话题的疑问。我看到的很多评论来自学生——也许是博士生，也许是本科生——他们原本计划进入数学或相邻的理论领域，现在却基本上只是在问："我该怎么办？当未来看起来如此不确定时，我接下来该做什么？"有很多恐惧，认为数学已死，或者数学已被解决，又或者即使你不相信那些说法，数学未来将变成的那个东西也是令人不快的、不是你真正想做的事情。我也和很多教授交谈过，他们基本上就是双手一摊，说："我该怎么告诉我的学生？在这个时刻，我该如何给他们建议？"所以我想在这期内容里聚焦于我看到的一条具体评论，它如此具有代表性，仿佛浓缩了无数其他声音。一位数学博士说："就告诉我明天该做什么吧。"

所以我想提出一个论点，我也想看看你是否同意我的观点——那就是从未有过比现在更好的时代去投身数学，从未有过比现在更好的时代去资助数学。也许我们在这个时刻将看到的最激进的变革，是对我们如何分配学术荣誉的重新定义，但数学的实际制度及其本质，即使在机器能做到数学家目前能做的所有事情、而且做得更好的假设性未来中，依然出人意料地不受影响。

在这期内容的第一部分，我只想搭建一个框架，展示我一直在如何思考这个问题。我们列出数学家所做的所有事情，然后列出数学对世界的所有价值，再思考资金从哪里来，以及后两者之间如何相互关联。我认为这对任何职业都是一个有用的练习，无论 AI 是否存在。但一旦 AI 进入讨论，你可以做的就是问：假设机器在每一项任务上都比人类做得更好，甚至比所有任务都做得更好，会发生什么？我当然不可能声称能精确预测会发生什么，我想给我在这期内容中所说的一切加上非常宽的误差范围。但大体上，我想尽我最大的诚意去尝试想清楚这些问题，并带着你一起思考。顺便说一句，也许值得先说明一下，我对于是否希望更多人进入学术数学这件事并没有切身的利害关系。事实上，如果非要说点什么的话，我一直认为也许有太多学生出于错误的原因去攻读博士学位。你知道，如果你一直喜欢学校、一直擅长学业，那么继续某种形式的学校教育是非常舒适的选择，博士项目感觉就是那种延伸。而你应该问的是：你想如何为世界上的其他人创造价值？你如何利用和发展自己的技能来更好地做到这一点？也许学术研究是实现这一目标的方式，但也许不是。问这个问题很重要。例如，很多因为当下形势而离开学术界的人，他们的动机是觉得他们能做的最好的事情是 AI 安全。如果那是你，很好，去做吧，跑起来，跑起来，跑起来。但我现在主要想对话的是那些出于恐惧而考虑离开的人——出于对这个职业将不复存在的恐惧，或者它将不再是他们会享受的事情的恐惧。因为我真的相信，不仅这个职业将继续存在，它将变得极其有用，也许比以往任何时候都更有用，而且也将充满欢乐。

数学研究的构成

那么，数学研究究竟包含什么？最显而易见的是证明定理。很多人把时间花在这上面。我们有这样的老套说法：数学家是一台将咖啡转化为定理的机器。但每个人都知道，这远非全部，而且这也是当下讨论中非常重要的一部分。有一句很好的话是这样说的：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家书写定义。所以我们可以把这一项也加入我们的清单。除了证明定理之外，你还有一种活动，就是决定什么值得去问。这里面有大量的品味判断——对某个想法是否足够有趣、是否能产出好的数学有一种特定的感觉。然后，与其说"书写定义"，我想加入第三个类别：理论构建。你有一堆已经被证明的定理，或者你对哪些问题值得去问有某种感觉，但你真正想要从中获得的是对到底发生了什么的一种广泛理解。你知道，当笛卡尔引入笛卡尔坐标时，他回答的并不是某一个具体问题，那是一整个思维框架。或者当伽罗瓦引入群论的最初种子时，其意义与五次方程的不可解性几乎没有关系，而在于那是一种全新的概念化方式，一种看待正在发生之事的方式，它将在随后的几个世纪里催生出一片极其繁茂的、高度有用的数学领域。我觉得格罗滕迪克也是这方面的好例子。他有各种各样的隐喻式表达方式，其中之一是：如果你试图从一座山顶到达另一座山顶，一种方式是解决所有问题——像走下山谷再爬上另一座山那样——而另一种方式是让海平面上升，在两座山之间涨起潮水，然后从一座山顶驶向另一座山顶。这个比喻中，上涨的海水就是你构建的所有理论——不一定是证明某个特定的定理，而是给出对到底在发生什么的更深层整体理解。你还有应用这个组成部分，即弄清楚所有这些抽象如何嵌入科学和工程之中。在所有这些类别中，另一个隐含的部分是将所做的事情清晰地传达给他人。这不仅仅是吐出一个证明，而是给出一个有合理动机的阐述，说明那是什么。或者在构建理论时，不仅仅是列出一堆定义——伟大的数学家会有效地传达为什么这些是值得参与的结构，并试图在其中传递他们的某些品味。

数学的价值

转到价值这边，最显而易见的是应用——对科学和工程的相关性。每个人在纯数学的基金申请书中写的都是，有时候这些应用可以非常下游，几十年甚至几个世纪之后才显现。让我举几个经典例子：十六世纪一群意大利人试图解三次方程，其中一个奇怪的技巧涉及认真地对待负数的平方根。将那个理论构建沿袭几个世纪，你就得到了虚数，而虚数是量子力学、电气工程、波动研究以及几乎所有东西的关键组成部分。关于欧几里得第五公设的问题导致人们发展了非欧几何，然后……你得到了广义相对论。对费马大定理的追求在代数几何和椭圆曲线等领域周围建立了所有这些美丽的理论，而这些理论反过来又出人意料地在密码学中变得有用。这样的例子非常多，人们喜欢列举它们。

数学价值的另一个组成部分不在于社会应用层面，而在于个人层面——做数学的实践和经历成为数学家训练的一部分，会给你留下一系列问题解决技能，这些技能看起来具有非常强的可迁移性。所以经济中有大量其他领域的人——进入计算机科学、机器学习研究、现在的 AI 安全、金融、密码学或所有这些领域的人——他们曾接受过大量数学训练。也许只是在数学系上了几门课，也许甚至拿到了数学博士学位，但最终没有成为数学家，而是将所有这些技能用在了别处。看起来这里确实有某种可泛化的东西。有一种关于如何找到正确抽象、如何进行这种问题解决的方式，使得人们在别处更有价值。

价值的第三个类别常常被低估，但我认为它将变得越来越值得被欣赏，那就是纯粹的审美。做数学本身就有一种欢乐。就我个人而言，我觉得有一种非常特定的情感——当我参与一个好问题时，脑海里会有一种咔哒声。我看到它将如何被解决。或者当我在脑海中持有一个我尚未深入参与的某种新理论，我看到它如何组合在一起，它就给了我一种完全不同的思考方式。我认为数学中有很多不同的部分都有那种重塑你思维的感觉。任何上过线性代数课的人，余生说话都会稍微不同——他们会用"正交"这样的词来谈论想法。或者参与范畴论的人，有时候会觉得自己的大脑被翻转过来，获得了一种全新的、令人满足的思考方式。就是很美好。如果你和数学家谈论是什么促使他们进入这个领域，不是每个人，但我认为对很多人来说，这实际上就是原因。做数学有一种特定的欢乐，一种特定的艺术愉悦。我也认为这有助于解释你现在看到的人们对 AI 进入数学的强烈反应——它如此强烈地呼应了艺术家们对 AI 与艺术的反应。这很难受，因为在某种意义上，感觉它侵犯了一种特定的艺术形式。

数学的资金来源

但如果我们把这当作一个职业而非爱好来思考，如果没有资金来源，这一切都不重要。那么数学的资金从哪里来？一个大的组成部分是教学。很多数学家是数学教授，他们在大学里，在数学系任教。数学系本身通常教的学生远不止数学专业的学生，所以它们对学分学时和学费有超比例的影响。然后是公共资金，当然，比如在美国我们有 NSF 拨款。我们也有来自各种机构的私人资金，比如西蒙斯基金会，有时候也会有工业界的资金。在这些类别中，顺便说一下，就资金来源而言，教学是最大的一个，这对于数学来说与其他科学相比有点特殊，因为研究相对廉价，而通过数学系的学生范围相对较广。

好了，我们即将进入想象 AI 在数学研究栈的各个部分变得比人类数学家更擅长时会发生什么的练习。但首先，也许值得明确价值栈和资金栈之间的关系。例如，后两个价值来源——问题解决能力和审美欢乐——是个人性的善好，它们只被做数学的那个人所体验。公共资金的存在不仅仅是为了支持圈内人从事某种有声望的、审美上令人愉悦的爱好。我认为更好的思考方式是，后两个价值来源基本上通过教学这个环节流经资金链。在大学数学系走廊里走过的学生，很大程度上是为了培养技术性的问题解决技能，希望这些技能在别处有用。其中一些人也是为了审美上的欢乐——我知道我是。虽然拥有数学的其他好处——它锻炼了一种通用技能集的肌肉——是令人安慰和认可的，但对我从那个数学系获得的大量价值的一个诚实描述是在审美那一边。对社会的益处当然来自下游应用。但我认为有更多值得承认的共同利益。例如，数学普及——像这个频道或 Numberphile 上发生的事情，或者数学家做报告时——真的是一种试图将那种审美欢乐更广泛地分享给社会的方式。而且，就什么为公共和私人资金提供正当理由而言，即使每个人都围绕下游应用来写他们的基金申请，我认为一个更重要的正外部性是：你有一个机构在培养一群具有某种问题解决能力的人，吸引他们从世界各地来到有声望的大学，然后他们中的大多数不会成为数学家，而是带着那些可迁移的技能溢出到经济的其他非常有用的部分。仅这一个组成部分，我认为，就是对指向那个机构的每一美元的一个非常有意义的投资回报——至少在其真正培养好的问题解决技能、且那些问题解决技能确实可迁移的范围内。

当机器比数学家更擅长证明定理

好吧，让我们进入核心。如果 AI 在研究栈的各个部分变得擅长，会发生什么？当我们进入第一个区块——假设机器在证明定理方面比数学家更擅长——之前，也许值得退后一步，总结一下刚刚发生了什么。像我说的，我一直在思考这个问题。实际上，Three Blue and Brown 背后一直在进行的一个安静项目是，从 2025 年中期开始，我一直在录制与数学家的访谈，只是为了听听他们对 AI 在数学中的存在有何感受。我的一个广泛结论是：在任何一个时间快照中，现状被高估了，但速度没有被高估。例如，回到 2023 年，我记得收到一位朋友的短信说："你知道，DeepMind 是不是刚刚碾压了奥赛级别的几何？"他指的是 DeepMind 发布的某个模型，能够回答 IMO 级别的几何问题。当时，答案是：我想是吧，但它也显然不是我们所说的"解决 IMO 级别问题"的精神。它感觉非常定制化和暴力，而很多问题应该需要一种创造力和想象力的元素。但如果你快进几年，自然语言模型——甚至不是定制化的——就能以任何合理的定义来解决 IMO 级别的问题。或者今年早些时候，你开始看到针对所谓 Erdős 问题的证明出现——一位伟大的数学家 Paul Erdős 提出了很多不同的问题，他对什么构成好的猜想有很好的品味。这些问题有一个编号列表，自然意味着模型公司喜欢用它作为一种基准。无论这是否是一个好的基准，你开始看到越来越多这些问题的机器生成证明。在早期，很多人说"是的，是的，但如果你仔细看，很多只是低垂的果实——是人们没有尝试过的问题，或者问题已经被解决但没有被很好地记录，模型基本上只是在重新包装那些东西，但没有做荣誉归因"——这当然是一个大问题。但如果你快进到此刻，没有人再说我们看到解答的那些问题只是低垂的果实了。这些是很多非常严肃的问题，数学家们曾非常努力地寻找证明，而 LLM 正在输出证明。这里我也想非常清楚地说，即使你抛开那些头条新闻式的结果——比如 OpenAI 最近的那些东西，Navier-Stokes 相关的或者他们发布的几百个问题——这也是真实的、值得讨论的。如果你和一线的数学家交谈，看他们与这些模型的互动方式，至少对其中一些人来说，你会听到的是：他们向某个推理模型提出一个严肃的研究问题，得到的东西是他们觉得有洞察力的。当然，这在不同领域和不同人之间差异很大。前沿在分形层面上是参差不齐的，绝不均匀。围绕这些证明的呈现方式也有大量争议。不想淡化其中任何一个的重要性，但我认为这里宏观的万英尺高空视角是：四年前，这些东西甚至不能正确地做加法。它们能够做竞赛级数学的速度比任何人预期的都快得多。它们从那里跳到做任何与研究相关的事情的速度也比很多人预期的快得多。所以即使说定理证明已经被解决了是一种夸张，即使我们看到的大多数证明只是离人类数学家的贡献——通常是最近的贡献——一步之遥，即使"定理证明被解决"意味着什么甚至都没有被很好地定义，鉴于过去四年的进步速度，为了论证的目的，为了那个试图展望未来、推测什么在他们未来中是稳定的第一年博士生，让我们就假设机器在数学的证明生成方面在范畴上更擅长。

那么会发生什么？简而言之，我认为它对价值栈几乎没有影响，因此对资金栈也几乎没有影响，但它对数学制度的文化和荣誉分配系统有非常巨大的影响。仅看价值栈那一边：应用，像我之前说的，几乎总是来自理论构建那一边。重要的不是五次方程不可解的证明，而是群论的创造，而群论反过来有诸如让人们假设夸克可能存在这样的影响。重要的不是费马大定理的是或否答案，而是从中涌现的所有数学及其应用。有时候你可以说定理的陈述本身就有某种效用。一个例子可能是：如果你在追求核聚变，你想要一个磁场处处非零的系统，毛球定理告诉你不能用球面拓扑的东西来做到这一点。这总让我觉得有点牵强，但大体上，应用来自理论构建那一边。所以下游到资金，这意味着公共资金仍然非常合理。如果有什么变化的话，数学家现在在做理论构建方面有了更大的杠杆，私人资金也是如此。对于价值栈上的下一项——培养那些问题解决肌肉——这基本上不受机器是否更擅长的影响。就像可能有很多人类比你更擅长生成证明，但为了培养那些问题解决肌肉，自己经历创造证明的过程仍然是有帮助的。这里的类比基本上是去健身房——是的，机器能举起比你更重的重量，但这并不否定你举那些重量所获得的价值。顺便说一下，这将对我们让 AI 变得越来越擅长的几乎每一项都成立——价值栈的这一部分，培养问题解决肌肉，始终要求你这个人真正参与其中。现在你可以问，在我们即将到达的那些科幻未来中——由 AI 越来越多地接管这些能力所暗示的未来——我们是否还需要人类的问题解决能力？我们可以暂时搁置那个问题。但只要这有价值存在，它就通过资金渠道的教学那一边流动。拥有人类专家能够生成证明仍然是非常有价值的，这样他们就能训练学生也能够生成证明，从而获得那些溢出效应。

审美欢乐这边在这里变得更复杂一些，因为我看到了两面。我见过很多的一种情绪，尤其是在网上，是定理证明来自机器完全吸走了其中的欢乐。你知道，通常如果一个数学家正在朝着某个特定结果推进，然后那个结果是 OpenAI 一次性倾泻下来的几百个之一，他们会说那完全抽走了他们所有的动力。我理解这一点，谈论那一部分很重要。但就我所见，尤其是在面对面交流中，也有完全相反的一面——一些数学家完全感到兴奋。他们有这些一直非常想知道答案的问题，现在他们有了与模型的互动，他们开始看到答案，特别是当他们关心的不仅仅是证明而是理论构建时，感觉他们被解锁了。让我给你一个小例子，我想分享一段我与高等研究院的 Konstantin Kogler 的对话，他谈到了他领域中一个非常重要的问题——最重要的之一——在过去一年里他会不断地把它提给当时可用的最先进模型。这是他的评论："我可以说有两次非常非常重大的成功。所以在周日，我让我们领域中也许是最大的未解决问题被解决了。还有另一次成功是关于那些不可约多项式的——就是我之前跟你说的那些。那绝对是奇妙的。而且很简单，星期四就已经看到了，所以它很简单。它有一个简单而强大的想法。首先我感到难以置信的兴奋——因为数学，因为力量，因为我学到的真理，因为我看到的思想的力量。然后我思考那些数学，这让我睡得更少了，然后我思考那种兴奋，因为我得到了我一直在渴望的那些洞见。"顺便说一下，这种二分法——网上倾向于看到更多消极情绪，而面对面倾向于看到更多欢乐——当然不是 AI 与数学所独有的。这就是当今世界话语的本质。我不想淡化那些消极感受的现实性或正当性。事实上，我想稍后深入探讨它。但我确实认为这对那个中心问题——博士生问明天该做什么——有一个含义。

我承诺在这期内容的结尾给你一个具体的答案，但那个答案的第一部分是：去社交。合上笔记本电脑，和你的博士同学们去散一个长步。至于那次长步中讨论的话题，相信我，我们会讲到的。我知道我们在这一个项目上花了很多时间，但它确实是当下大部分话语所在的地方，我还有几件事要在这里说。例如，如果机器在证明生成方面更擅长，做数学的实践实际上会是什么样子？如果我们采取那个乐观者的视角——那个为此感到兴奋的人——它基本上看起来是投入理论构建。你不再被你能多快解决沿途某些问题所限制。你可以问你所有想问的问题，你可以更快地看到它们的解答是什么，你可以尝试解析那些，理解这如何融入一个更大的叙事，所有你正在看的证明中简单性的要素是什么，你如何将这一切编织成一种新理论的织物——就像伽罗瓦引入群论或格罗滕迪克发展代数几何那样。你作为个人能完全生长出什么？也许你的博士论文不是少数几个证明，而是那整个理论构建。一个类比是：就像读一本教科书，你能够更快地理解那些材料，部分原因是你后面有答案。这不是说你应该总是看答案，你仍然应该做那些问题并参与其中。但如果你卡住了，有一个更连贯的答案呈现确实帮助你摆脱困境，让你比完全在未知领域时移动得更快。现在你确实需要在这方面深思熟虑。例如，很多机器生成的证明会使用源自人类发表的出版物的想法，目前这些的归因并不总是自动的，所以这显然是一个问题，意味着你必须付出额外的努力来确保荣誉归于应得之处。

但承认那种我提到的非常真实的欢乐丧失，我认为很多数学家会看着我刚才描述的说："天哪，那看起来太可怕了。我不想坐在那里试图解析一堆机器生成的垃圾，只是理解别人已经回答过的问题。我想自己找到解答。我追求数学的全部欢乐就是自己去做，自己对事物形成自己的理解。"我确实认为处理那种感受也许是整个社区作为整体目前需要面对的更重要的问题之一。但我怀疑至少部分那种感受可以归因于两件不同的事情。其中一件是，目前从模型出来的东西的解释质量往往还有很多不足之处，没有人想只是解析一堆垃圾。我怀疑那会变得更好。我认为这可能是历史上的一个暂时性波动——你有证明生成，但它也几乎不可理解。模型公司有巨大的动机让它们的模型能够很好地解释事物。如果你看代码的轨迹，我认为早期很多生成的代码即使功能正确也相当粗糙，而轨迹一直在朝着更干净的方向发展。人们可能在那一点上跟我争论——它们确实过度注释了——但大体上，我确实认为那是轨迹。

更深层的问题，我怀疑，是围绕数学社区重视什么以及荣誉在哪里被分配的文化惯性。因为令人难受的事情之一是，如果你感觉你在追求一个问题，然后一个模型找到了答案——特别是如果它来自模型公司而不是你与它的互动——然后感觉那个问题被解决了，你只是在后面扫地。在数学历史的很长一段时间里，我们一直用证明作为理解的代理。它是我们瞄准的北极星——证明某样东西意味着你理解了它。我们有那些宏大的未解决问题，我们认为证明被创造出来的那一刻就是它们被解决的那一刻。现在当然那不是全部，每个人一直都知道那不是全部。如果你向期刊提交一篇论文而它写得很差，他们会直接退回来。如果你在其中证明了一个非常重要的定理但它写得很差，他们会感到沮丧，因为他们知道他们应该关心，但他们仍然会退回来，解释清楚的责任在你身上。我认为在这一点上，我们应该将证明视为与数值计算类似的东西——也就是说，它是一种原始数据的形式，对理论构建有帮助，但它本身绝不是目的。顺便说一下，这不是我自己的想法，其他人也将机器生成的证明视为更像数据的东西来对待。但我认为非常广泛地说，将理论构建视为目标而非证明，将证明视为一种可以插入其中的原始数据，有一种解放感。例如，我不关心 Navier-Stokes 问题的强制爆破。我关心的是如果有人理解了那个证明中的想法，以及从那些想法中可以绽放出的那种数学——成为一种美丽的、连贯的理论。如果有人投入工作去做那件事，给他们千年奖。那才是我们最初关心它的原因。证明只是数据，就像给我更多 $\pi$ 的位数一样。这也影响了你如何做研究。也许有时候你需要再一个证明，与模型互动是做到这一点的最好方式。但很多时候可能不是，更好的是合上笔记本电脑，自己潦草地写下你的理解，然后问：现在阻碍我发展更深层理论的到底是什么？是再一个证明吗？还是我对现有证明的理解有什么问题？再次拉出我们的数学研究组成部分，如果机器生成证明但不能很好地传达它们，那确实意味着你仍然需要人类数学家来使它们变得可理解。坦白说，那可能不是最有趣的部分。也许这取决于你的视角。无论如何，我假设那是相对暂时的，让我们就说机器也变得更好地传达它们的想法。顺便说一下，那只是书面交流。一种同样有价值的交流形式是更社交的一面，通常通过口头报告发生。我认为在整个未来轨迹中，口头报告能力的相关性只会越来越高。机器不能替你理解，而数学的一个重要部分是让其他人理解并关心，我们是社会性生物。所以即使机器更擅长解释，让我们关心的很大一部分是看到另一个人真正关心。

当机器也擅长提出猜想

这里有一个项目是提出问题，决定哪些定理值得被证明。目前，那仍然是一个令人难以置信的充满活力和高度杠杆化的领域，数学家可以在其中投入时间。但让我们想象一下，再次为了论证的目的，机器在那方面也变得更好了。你与模型的互动不仅仅是要求它证明一个特定的定理，而是它回来说："这里还有其他值得问的问题，可能会产出丰硕的数学。"而且无论我们如何定义它，它们在提出那些问题方面比数学家更擅长。这显然与理论构建之间有一条非常模糊的界限，但至少让我们参与一下：假设人类仍然在理论构建那一边更擅长——真正理解这广泛的一组定理及其证明方式的意义。那才是与下游应用最相关的，因此从资助数学的角度来看，不仅这样做仍然有意义，你在这样做时拥有更大的杠杆，因为每个个体数学家能够比以前更快地推进理论。在培养问题解决肌肉那一边，一如既往，就像健身房的哑铃。机器是否更擅长并不重要。你仍然想要一种实践——人类被训练如何做到这一点——假设人类的问题解决能力在任何程度上是相关的。在审美欢乐方面，我认为我们继续看到一点分裂。有些人不会觉得一个模型既提出自己的问题又回答它们很有趣。我知道我自己可能会花一辈子的时间试图在自己的脑海中想出有趣的问题，并找到自己的方式来回答它们，不管模型能做什么。但也会有那些感到兴奋的人，他们在构建理论、理解那些理论方面感到越来越少地受到限制，甚至开始看到它们如何被应用——其节奏不再是等待几十年或几个世纪才有下游应用，而是也许能更早一点去寻求它们。

当机器也擅长理论构建

但如果——今天的研究生可能会问——理论构建那一边也倒下了呢？如果在某种抽象意义上推进理论数学的最有效方式不仅是让机器生成证明或问它们应该证明什么定理，而且它们也在消化所有这些证明，找到其中的简单性要素，理解你真正需要编织什么样的新颖织物才能围绕它形成一个连贯的理论呢？那将类似于给它所有到 1500 年代的数学，然后它不仅解出三次方程，还想出如何表示它的正确记号，想出复数理论，你知道的，所有那些下游的东西。也许你认为那不太可能，那种真正新颖的思考水平在当前的 LLM 中是不可信的，鉴于它们对人类知识和训练数据的依赖。但再次，为了假设性探索，如果什么都不说，在那个世界里数学领域会是什么样子？好吧，就我们想要在现实世界中产生应用而言，根据这个假设的假设，模型在生成所有理论方面更擅长。但你仍然需要有人充分理解所有这些理论，以看到它如何在周围领域中得到应用。这些东西中是否有任何与治愈癌症相关，或者与使核聚变成为现实相关，或者与高温超导体相关？那才是所有橡胶真正接触路面的地方。在个人问题解决那一边，与整个故事中的情况一样——你在健身房。机器是否更擅长并不重要。如果人类的问题解决肌肉在任何程度上是相关的，你仍然想要他们经历所有这些的实践。

在审美和欢乐那一边，我意识到我实际上一直在混淆两件不同的事情。所以我说的欢乐的一个版本是任何在任何层面上做数学的人所体验到的。那是看到巧妙解答并感觉它在你脑海中咔哒一声时带来的那种非常独特的满足感，或者是理解一个新主题可以改变你的思维方式——以一种非常令人向往的方式。那就是你和我在这个频道上所做的一切。然后另外，还有前沿研究者所体验的欢乐——那种推动前沿前进的感觉。现在在第一个类别中，那个在我看来或多或少不受 AI 是否在清单上某些任务中更擅长的影响。它完全类似于问题解决那个位置。出于同样的原因，为了体验这一部分价值，你必须是真正在做数学、在自己头脑中参与的人。现在，能够做数学的模型的存在可能对某些人的那一方面有一些影响，但我也认为欢乐的这一面更加本质上是公共的或社交的，或者至少它从公共和社交中受益。我认为当你与其他对此充满热情的人在一起时，或者当你看到另一个人对此充满热情时，感到对某事物的热情要容易得多。它可以在孤立中发生，确实可以，但那个社交成分永远会是一个放大器。就我而言，我总是想要参与更多的数学片段，在自己的头脑中理解它们，并与你们分享，并花一生与你们分享它们，无论任何机器的能力如何。

至于研究者所体验的欢乐，这里再次，我认为我一直在描述的那种分裂只是被放到了越来越尖锐的焦点中。你可能会永远有那些被一台机器所提供的一种非常新的通往数学世界的窗口所激发的人，我认为你也会永远有那些觉得这极其令人沮丧的人。因为让我们面对现实，这里确实失去了一些东西。长期以来，你一直在推进人类理解与所有这些下游应用之间有着紧密的耦合，而在我们谈论的这些假设中，那些正在越来越脱钩，这可能意味着对某些人来说，纯粹为了推进人类理解本身的那种感觉失去了一点力量。也许你不想读一本后面有答案的教科书，即使你不必看它——那击败了全部的开拓精神。我和之交谈的很多数学家，我认为对处于前沿或成为第一个发现某物的人并不那么感兴趣。他们似乎真的在社区的性质中找到了大部分欢乐。所以毫无疑问，你将看到数学社区中出现越来越多的子潮流，倡导推进人类对数学的理解本身作为一个值得追求的终极目标。所以总结一下它在我们图表中的相关性：只要学习数学总有欢乐可以获得，并且那可以通过教学渠道流动——假设人们愿意付费学习它——那就不受影响。但坦率地说，如果那种欢乐的一部分也许来自成为先驱的希望——成为第一个踏入新理论的人——让我们承认，那将是一种失去。

当机器在所有方面都超越人类

为了把它全部推演完，看着我清单上的最后一项：假设机器不仅在生成证明方面更擅长，不仅在提出其证明将产出丰硕数学的猜想方面更擅长，不仅理解那些丰硕的数学是什么以及它应该如何被封装进好的定义和好的理论方面更擅长，而且它们也比人类更擅长看到那些理论插入什么应用中、将其嵌入科学和工程。让我们称之为"你能做的我都能做得更好"的未来。这里事情开始变得更有趣，因为第一次在这个价值链上，理论上所有流向应用的效益在机器中发生会更好。所以理论上，就公共和私人资金是由下游应用驱动而言，这些资金最有效的使用方式将是把它倾注到某个只是做数学的大块计算上——它创造理论，将理论嵌入应用，在那个意义上推动事情前进。如果我必须猜测，即使在那个时候那将是资金的理性使用——就它们由下游应用驱动而言——我觉得很难想象政策制定者只是拨动开关，公共资金不再流向人类而是流向一大块计算。我能想象的是某些从 AI 本身中变得极其富有的个人开始设立私人基金会，只是把资金倾注到一大块做数学的计算上。那似乎有很大的可能性会发生。在公共资金那一边似乎更可能的是，人们会越来越多地谈论来自数学的其他正外部性。例如，拥有这个培养问题解决者的机构，他们溢出到世界其他地方——那仍然极其有价值。仅这一点本身就对任何公共资金给予正的投资回报。或者如果出现正式机构，围绕人类为人类繁荣而做的数学——那本质上是将数学拥抱为一种艺术，它一直是艺术，也许在那一点上那就是资金被感知的方式。它像艺术被资助那样被资助——既有公共的，也有某些私人慈善渠道。但再次记住，那些甚至不是数学大部分资金的来源。大部分来自教学，而教学的价值最终来自价值链中的下面两个要素：训练人们培养问题解决肌肉，并在他们心中灌输一种非常特定的欢乐。这个"你能做的我都能做得更好"的未来所暗示的未来如此狂野，甚至很难严肃地参与。作为一个旁注，所有这些对话都取决于一个事情进展顺利、没有灾难性事件发生的分支。所以再次，也许有些人认为 AI 安全现在是他们更应该工作的地方。但当我们参与这个话题并假设那是未来的一个好的分支时，在我看来，你很可能仍然会有类似现有大学结构的东西。即使理论上 AI 更擅长解释事物，人们仍然想从人类那里学习，因为教育的瓶颈不是解释的清晰度，而是动机。人们是否真的想学习那些材料，什么激励人们？有时候只是纯粹的学习本身的欢乐，但我们是社会性生物，激励人们学习的很大一部分是看到另一个人对此深深充满热情——特别是如果那是他们尊重或关心的人。教学总体上在我看来是从 AI 替代工作的角度来看最安全的位置之一，因为它是如此关系性的，因为它如此依赖于人与人之间的互动。无论通过屏幕产生多少清晰度，都无法替代那种东西。

我们站在哪里

那么这让我们站在哪里？我认为在可预见的未来，研究需要越来越多地强调数学的理论构建那一边——它一直是这样的，那一直是重点。但主要的区别是，证明曾经是那个目标的一个非常有价值的代理，而它正在失去作为代理的价值。在这一点上，它是一种原始数据的形式，它有可能成为一种有用的原始数据形式，是的，毫无疑问我们必须改变我们如何衡量人类的学术贡献。但那可能是一件好事。证明本身可能几十年来一直被高估了。同样，就这个机构对磨练问题解决技能有价值而言，它也确实提出了如何确切地做到这一点的问题，因为之前做那种训练的方法不再适用。例如，仅仅布置和评分问题集在现在并不真正有意义。然后即使你担心某个科幻未来——所有数学真的可以被机械化——或者即使你担心问题解决技能的训练不知何故不会有用？似乎有点牵强，但让我们参与一下。只要做数学有欢乐存在，数学对人类就永远有价值。我对最后一点最看好的原因——即使在那些狂野的科幻未来中它也将作为一个支撑柱存在——是因为这个频道。我的意思是，想想这里正在发生什么。外面有数百万你们愿意在这里参与，而我们实际上在做的是……只是沉浸在数学的美中，找到优雅的、解答非常令人满足的问题，或者试图灌输新的思维方式。现在坦率地说，并不是数百万你们愿意为此付费——那当然很好——但有数千人愿意，那就改变了一切。看看这个频道之外，我最喜欢引用的一个例子来说明公众对数学显然有很大的胃口，是考虑 Brady Haran 经营的所有频道——在所有频道中，最受欢迎的远远是他做数学的那个。或者把时间倒回一点，如果你看 Martin Gardner——现代数学普及的教父——最初他的专栏出现在《科学美国人》的末尾，但后来他们不得不把它移到开头，因为太多人是为了他的专栏才订阅的。显然，一旦人们尝到了数学真正是什么的滋味，社会对它就有一种巨大的胃口。所以我认为数学社区明智的做法是向外转，去满足那种渴望。

为什么现在是最好的时机

在这期内容的大部分时间里，我只是在阐述为什么我认为数学制度是有价值的、将继续存在。但我以一个更强的论点开头。我说我认为这是进入数学的最好时机之一，我猜测很多点开这个视频的观众可能预期我的意思是 AI 将解锁数学中的新机会，但实际上我不是在指那些。我认为这是最好的时机之一的原因是，整个社区都知道它需要改变，如此多的人在退缩、寻找关于那种改变应该是什么的指导和榜样。所以你，作为那个领域的新进入者，有可能在它历史上最关键的时刻之一真正影响它将成为什么。我认为那是令人难以置信地兴奋的。

所以对那位博士生的评论——"告诉我明天该做什么"——我可以告诉你如果我是 2026 年的博士生我会做什么。我会做 Three Blue One Brown。我会做完全就是这个。如果十年前我走进某个数学系说："嘿，我有一个概念，用高度视觉优先的方式来解释数学，哦顺便问一下，你们能把那做成一个学术认可的博士论文吗，不仅仅是一个爱好？"我几乎会被每一个系嘲笑出来。我不确定我年轻时的自己能今天做到这一点，但如果有任何时候人们会对此持开放态度，那就是现在。现在我不是说那就是你应该做的。你应该投入任何让你热爱数学的东西。我热爱解释它，我热爱可视化它。那是我的热情，那是我想要奔跑的方向。但你的呢？你想带着什么奔跑？如果你热爱理论构建那一边，你想成为下一个伽罗瓦或下一个格罗滕迪克，很好，带着那个奔跑。你有一台证明生成机器可用，它将在未来四年变得越来越好。也许你可以用它创造一篇世界从未见过的博士论文——一台机器开辟一个你在以前的世界中永远无法到达的新领域。如果你不喜欢模型，你不想使用它们，它们让你口中留下不好的味道，很好，也投入那个。毫无疑问，数学社区中会有子潮流想要建立"人类为人类做的数学"是什么样的、那会是什么样子。你可以插一面旗帜在沙中。你可以决定一篇体现那个目标的博士论文看起来是什么样子。

我会做的另一件事是认识到，如果机器在研究栈的任何子集上更擅长，衡量一个人对材料的理解及其推动领域前进的潜力的最有效方式——无论那意味着什么——将越来越多地转向口头报告那一边。所以做报告，做很多报告，变得非常非常擅长做报告，让那成为你实践数学的一个非常规律的部分。

现在，我对明天字面上该做什么的最具体建议是：去散一个长步。找一个朋友，也许是你项目中的另一个人，和他们一起反思——你喜欢数学的什么？你为什么进入它？问他们，他们热爱什么？他们为什么进入它？然后一起头脑风暴，你们究竟想让未来几年的生活如何为这个价值栈的各个不同部分做出贡献。就我而言，我仍然热爱数学。我将永远热爱数学。我将永远热爱找到方法来可视化它并在这个频道上与你们分享。我对你最大的希望是你能找到一种方式来投入你自己的热情。社区从未如此开放，他们会倾听你要说的话。