从未有过比现在更好的时代去投身数学

数学世界正在燃烧

让我们好好谈谈这件事。感觉整个数学界都在为 AI 在数学中的角色而沸腾。我已经思考这个问题很久了，所以上周我发了一条帖子，征集大家关于这个话题的疑问。我看到的很多评论来自学生——也许是博士生，也许是本科生——他们原本计划进入数学或相邻的理论领域，现在却基本上只是在问："我该怎么办？当未来看起来如此不确定时，我接下来该做什么？"有很多恐惧，认为数学已死，或者数学已被解决，又或者即使你不相信那些说法，数学未来将变成的那个东西也是令人不快的、不是你真正想做的事情。我也和很多教授交谈过，他们基本上就是双手一摊，说："我该怎么告诉我的学生？在这个时刻，我该如何给他们建议？"所以我想在这期内容里聚焦于我看到的一条具体评论，它如此具有代表性，仿佛浓缩了无数其他声音。一位数学博士说："就告诉我明天该做什么吧。"

所以我想提出一个论点，我也想看看你是否同意我的观点——那就是从未有过比现在更好的时代去投身数学，从未有过比现在更好的时代去资助数学。也许我们在这个时刻将看到的最激进的变革，是对我们如何分配学术荣誉的重新定义，但数学的实际制度及其本质，即使在机器能做到数学家目前能做的所有事情、而且做得更好的假设性未来中，依然出人意料地不受影响。

在这期内容的第一部分，我只想搭建一个框架，展示我一直在如何思考这个问题。我们列出数学家所做的所有事情，然后列出数学对世界的所有价值，再思考资金从哪里来，以及后两者之间如何相互关联。我认为这对任何职业都是一个有用的练习，无论 AI 是否存在。但一旦 AI 进入讨论，你可以做的就是问：假设机器在每一项任务上都比人类做得更好，甚至比所有任务都做得更好，会发生什么？我当然不可能声称能精确预测会发生什么，我想给我在这期内容中所说的一切加上非常宽的误差范围。但大体上，我想尽我最大的诚意去尝试想清楚这些问题，并带着你一起思考。顺便说一句，也许值得先说明一下，我对于是否希望更多人进入学术数学这件事并没有切身的利害关系。事实上，如果非要说点什么的话，我一直认为也许有太多学生出于错误的原因去攻读博士学位。你知道，如果你一直喜欢学校、一直擅长学业，那么继续某种形式的学校教育是非常舒适的选择，博士项目感觉就是那种延伸。而你应该问的是：你想如何为世界上的其他人创造价值？你如何利用和发展自己的技能来更好地做到这一点？也许学术研究是实现这一目标的方式，但也许不是。问这个问题很重要。例如，很多因为当下形势而离开学术界的人，他们的动机是觉得他们能做的最好的事情是 AI 安全。如果那是你，很好，去做吧，跑起来，跑起来，跑起来。但我现在主要想对话的是那些出于恐惧而考虑离开的人——出于对这个职业将不复存在的恐惧，或者它将不再是他们会享受的事情的恐惧。因为我真的相信，不仅这个职业将继续存在，它将变得极其有用，也许比以往任何时候都更有用，而且也将充满欢乐。

数学研究的构成

那么，数学研究究竟包含什么？最显而易见的是证明定理。很多人把时间花在这上面。我们有这样的老套说法：数学家是一台将咖啡转化为定理的机器。但每个人都知道，这远非全部，而且这也是当下讨论中非常重要的一部分。有一句很好的话是这样说的：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家书写定义。所以我们可以把这一项也加入我们的清单。除了证明定理之外，你还有一种活动，就是决定什么值得去问。这里面有大量的品味判断——对某个想法是否足够有趣、是否能产出好的数学有一种特定的感觉。然后，与其说"书写定义"，我想加入第三个类别：理论构建。你有一堆已经被证明的定理，或者你对哪些问题值得去问有某种感觉，但你真正想要从中获得的是对到底发生了什么的一种广泛理解。你知道，当笛卡尔引入笛卡尔坐标时，他回答的并不是某一个具体问题，那是一整个思维框架。或者当伽罗瓦引入群论的最初种子时，其意义与五次方程的不可解性几乎没有关系，而在于那是一种全新的概念化方式，一种看待正在发生之事的方式，它将在随后的几个世纪里催生出一片极其繁茂的、高度有用的数学领域。我觉得格罗滕迪克也是这方面的好例子。他有各种各样的隐喻式表达方式，其中之一是：如果你试图从一座山顶到达另一座山顶，一种方式是解决所有问题——像走下山谷再爬上另一座山那样——而另一种方式是让海平面上升，在两座山之间涨起潮水，然后从一座山顶驶向另一座山顶。这个比喻中，上涨的海水就是你构建的所有理论——不一定是证明某个特定的定理，而是给出对到底在发生什么的更深层整体理解。你还有应用这个组成部分，即弄清楚所有这些抽象如何嵌入科学和工程之中。在所有这些类别中，另一个隐含的部分是将所做的事情清晰地传达给他人。这不仅仅是吐出一个证明，而是给出一个有合理动机的阐述，说明那是什么。或者在构建理论时，不仅仅是列出一堆定义——伟大的数学家会有效地传达为什么这些是值得参与的结构，并试图在其中传递他们的某些品味。

数学的价值

转到价值这边，最显而易见的是应用——对科学和工程的相关性。每个人在纯数学的基金申请书中写的都是，有时候这些应用可以非常下游，几十年甚至几个世纪之后才显现。让我举几个经典例子：十六世纪一群意大利人试图解三次方程，其中一个奇怪的技巧涉及认真地对待负数的平方根。将那个理论构建沿袭几个世纪，你就得到了虚数，而虚数是量子力学、电气工程、波动研究以及几乎所有东西的关键组成部分。关于欧几里得第五公设的问题导致人们发展了非欧几何，然后……你得到了广义相对论。对费马大定理的追求在代数几何和椭圆曲线等领域周围建立了所有这些美丽的理论，而这些理论反过来又出人意料地在密码学中变得有用。这样的例子非常多，人们喜欢列举它们。

数学价值的另一个组成部分不在于社会应用层面，而在于个人层面——做数学的实践和经历成为数学家训练的一部分，会给你留下一系列问题解决技能，这些技能看起来具有非常强的可迁移性。所以经济中有大量其他领域的人——进入计算机科学、机器学习研究、现在的 AI 安全、金融、密码学或所有这些领域的人——他们曾接受过大量数学训练。也许只是在数学系上了几门课，也许甚至拿到了数学博士学位，但最终没有成为数学家，而是将所有这些技能用在了别处。看起来这里确实有某种可泛化的东西。有一种关于如何找到正确抽象、如何进行这种问题解决的方式，使得人们在别处更有价值。

价值的第三个类别常常被低估，但我认为它将变得越来越值得被欣赏，那就是纯粹的审美。做数学本身就有一种欢乐。就我个人而言，我觉得有一种非常特定的情感——当我参与一个好问题时，脑海里会有一种咔哒声。我看到它将如何被解决。或者当我在脑海中持有一个我尚未深入参与的某种新理论，我看到它如何组合在一起，它就给了我一种完全不同的思考方式。我认为数学中有很多不同的部分都有那种重塑你思维的感觉。任何上过线性代数课的人，余生说话都会稍微不同——他们会用"正交"这样的词来谈论想法。或者参与范畴论的人，有时候会觉得自己的大脑被翻转过来，获得了一种全新的、令人满足的思考方式。就是很美好。如果你和数学家谈论是什么促使他们进入这个领域，不是每个人，但我认为对很多人来说，这实际上就是原因。做数学有一种特定的欢乐，一种特定的艺术愉悦。我也认为这有助于解释你现在看到的人们对 AI 进入数学的强烈反应——它如此强烈地呼应了艺术家们对 AI 与艺术的反应。这很难受，因为在某种意义上，感觉它侵犯了一种特定的艺术形式。

数学的资金来源

但如果我们把这当作一个职业而非爱好来思考，如果没有资金来源，这一切都不重要。那么数学的资金从哪里来？一个大的组成部分是教学。很多数学家是数学教授，他们在大学里，在数学系任教。数学系本身通常教的学生远不止数学专业的学生，所以它们对学分学时和学费有超比例的影响。然后是公共资金，当然，比如在美国我们有 NSF 拨款。我们也有来自各种机构的私人资金，比如西蒙斯基金会，有时候也会有工业界的资金。在这些类别中，顺便说一下，就资金来源而言，教学是最大的一个，这对于数学来说与其他科学相比有点特殊，因为研究相对廉价，而通过数学系的学生范围相对较广。

好了，我们即将进入想象 AI 在数学研究栈的各个部分变得比人类数学家更擅长时会发生什么的练习。但首先，也许值得明确价值栈和资金栈之间的关系。例如，后两个价值来源——问题解决能力和审美欢乐——是个人性的善好，它们只被做数学的那个人所体验。公共资金的存在不仅仅是为了支持圈内人从事某种有声望的、审美上令人愉悦的爱好。我认为更好的思考方式是，后两个价值来源基本上通过教学这个环节流经资金链。在大学数学系走廊里走过的学生，很大程度上是为了培养技术性的问题解决技能，希望这些技能在别处有用。其中一些人也是为了审美上的欢乐——我知道我是。虽然拥有数学的其他好处——它锻炼了一种通用技能集的肌肉——是令人安慰和认可的，但对我从那个数学系获得的大量价值的一个诚实描述是在审美那一边。对社会的益处当然来自下游应用。但我认为有更多值得承认的共同利益。例如，数学普及——像这个频道或 Numberphile 上发生的事情，或者数学家做报告时——真的是一种试图将那种审美欢乐更广泛地分享给社会的方式。而且，就什么为公共和私人资金提供正当理由而言，即使每个人都围绕下游应用来写他们的基金申请，我认为一个更重要的正外部性是：你有一个机构在培养一群具有某种问题解决能力的人，吸引他们从世界各地来到有声望的大学，然后他们中的大多数不会成为数学家，而是带着那些可迁移的技能溢出到经济的其他非常有用的部分。仅这一个组成部分，我认为，就是对指向那个机构的每一美元的一个非常有意义的投资回报——至少在其真正培养好的问题解决技能、且那些问题解决技能确实可迁移的范围内。

当机器比数学家更擅长证明定理

好吧，让我们进入核心。如果 AI 在研究栈的各个部分变得擅长，会发生什么？当我们进入第一个区块——假设机器在证明定理方面比数学家更擅长——之前，也许值得退后一步，总结一下刚刚发生了什么。像我说的，我一直在思考这个问题。实际上，Three Blue and Brown 背后一直在进行的一个安静项目是，从 2025 年中期开始，我一直在录制与数学家的访谈，只是为了听听他们对 AI 在数学中的存在有何感受。我的一个广泛结论是：在任何一个时间快照中，现状被高估了，但速度没有被高估。例如，回到 2023 年，我记得收到一位朋友的短信说："你知道，DeepMind 是不是刚刚碾压了奥赛级别的几何？"他指的是 DeepMind 发布的某个模型，能够回答 IMO 级别的几何问题。当时，答案是：我想是吧，但它也显然不是我们所说的"解决 IMO 级别问题"的精神。它感觉非常定制化和暴力，而很多问题应该需要一种创造力和想象力的元素。但如果你快进几年，自然语言模型——甚至不是定制化的——就能以任何合理的定义来解决 IMO 级别的问题。或者今年早些时候，你开始看到针对所谓 Erdős 问题的证明出现——一位伟大的数学家 Paul Erdős 提出了很多不同的问题，他对什么构成好的猜想有很好的品味。这些问题有一个编号列表，自然意味着模型公司喜欢用它作为一种基准。无论这是否是一个好的基准，你开始看到越来越多这些问题的机器生成证明。在早期，很多人说"是的，是的，但如果你仔细看，很多只是低垂的果实——是人们没有尝试过的问题，或者问题已经被解决但没有被很好地记录，模型基本上只是在重新包装那些东西，但没有做荣誉归因"——这当然是一个大问题。但如果你快进到此刻，没有人再说我们看到解答的那些问题只是低垂的果实了。这些是很多非常严肃的问题，数学家们曾非常努力地寻找证明，而 LLM 正在输出证明。这里我也想非常清楚地说，即使你抛开那些头条新闻式的结果——比如 OpenAI 最近的那些东西，Navier-Stokes 相关的或者他们发布的几百个问题——这也是真实的、值得讨论的。如果你和一线的数学家交谈，看他们与这些模型的互动方式，至少对其中一些人来说，你会听到的是：他们向某个推理模型提出一个严肃的研究问题，得到的东西是他们觉得有洞察力的。当然，这在不同领域和不同人之间差异很大。前沿在分形层面上是参差不齐的，绝不均匀。围绕这些证明的呈现方式也有大量争议。不想淡化其中任何一个的重要性，但我认为这里宏观的万英尺高空视角是：四年前，这些东西甚至不能正确地做加法。它们能够做竞赛级数学的速度比任何人预期的都快得多。它们从那里跳到做任何与研究相关的事情的速度也比很多人预期的快得多。所以即使说定理证明已经被解决了是一种夸张，即使我们看到的大多数证明只是离人类数学家的贡献——通常是最近的贡献——一步之遥，即使"定理证明被解决"意味着什么甚至都没有被很好地定义，鉴于过去四年的进步速度，为了论证的目的，为了那个试图展望未来、推测什么在他们未来中是稳定的第一年博士生，让我们就假设机器在数学的证明生成方面在范畴上更擅长。

那么会发生什么？简而言之，我认为它对价值栈几乎没有影响，因此对资金栈也几乎没有影响，但它对数学制度的文化和荣誉分配系统有非常巨大的影响。仅看价值栈那一边：应用，像我之前说的，几乎总是来自理论构建那一边。重要的不是五次方程不可解的证明，而是群论的创造，而群论反过来有诸如让人们假设夸克可能存在这样的影响。重要的不是费马大定理的是或否答案，而是从中涌现的所有数学及其应用。有时候你可以说定理的陈述本身就有某种效用。一个例子可能是：如果你在追求核聚变，你想要一个磁场处处非零的系统，毛球定理告诉你不能用球面拓扑的东西来做到这一点。这总让我觉得有点牵强，但大体上，应用来自理论构建那一边。所以下游到资金，这意味着公共资金仍然非常合理。如果有什么变化的话，数学家现在在做理论构建方面有了更大的杠杆，私人资金也是如此。对于价值栈上的下一项——培养那些问题解决肌肉——这基本上不受机器是否更擅长的影响。就像可能有很多人类比你更擅长生成证明，但为了培养那些问题解决肌肉，自己经历创造证明的过程仍然是有帮助的。这里的类比基本上是去健身房——是的，机器能举起比你更重的重量，但这并不否定你举那些重量所获得的价值。顺便说一下，这将对我们让 AI 变得越来越擅长的几乎每一项都成立——价值栈的这一部分，培养问题解决肌肉，始终要求你这个人真正参与其中。现在你可以问，在我们即将到达的那些科幻未来中——由 AI 越来越多地接管这些能力所暗示的未来——我们是否还需要人类的问题解决能力？我们可以暂时搁置那个问题。但只要这有价值存在，它就通过资金渠道的教学那一边流动。拥有人类专家能够生成证明仍然是非常有价值的，这样他们就能训练学生也能够生成证明，从而获得那些溢出效应。

审美欢乐这边在这里变得更复杂一些，因为我看到了两面。我见过很多的一种情绪，尤其是在网上，是定理证明来自机器完全吸走了其中的欢乐。你知道，通常如果一个数学家正在朝着某个特定结果推进，然后那个结果是 OpenAI 一次性倾泻下来的几百个之一，他们会说那完全抽走了他们所有的动力。我理解这一点，谈论那一部分很重要。但就我所见，尤其是在面对面交流中，也有完全相反的一面——一些数学家完全感到兴奋。他们有这些一直非常想知道答案的问题，现在他们有了与模型的互动，他们开始看到答案，特别是当他们关心的不仅仅是证明而是理论构建时，感觉他们被解锁了。让我给你一个小例子，我想分享一段我与高等研究院的 Konstantin Kogler 的对话，他谈到了他领域中一个非常重要的问题——最重要的之一——在过去一年里他会不断地把它提给当时可用的最先进模型。这是他的评论："我可以说有两次非常非常重大的成功。所以在周日，我让我们领域中也许是最大的未解决问题被解决了。还有另一次成功是关于那些不可约多项式的——就是我之前跟你说的那些。那绝对是奇妙的。而且很简单，星期四就已经看到了，所以它很简单。它有一个简单而强大的想法。首先我感到难以置信的兴奋——因为数学，因为力量，因为我学到的真理，因为我看到的思想的力量。然后我思考那些数学，这让我睡得更少了，然后我思考那种兴奋，因为我得到了我一直在渴望的那些洞见。"顺便说一下，这种二分法——网上倾向于看到更多消极情绪，而面对面倾向于看到更多欢乐——当然不是 AI 与数学所独有的。这就是当今世界话语的本质。我不想淡化那些消极感受的现实性或正当性。事实上，我想稍后深入探讨它。但我确实认为这对那个中心问题——博士生问明天该做什么——有一个含义。

我承诺在这期内容的结尾给你一个具体的答案，但那个答案的第一部分是：去社交。合上笔记本电脑，和你的博士同学们去散一个长步。至于那次长步中讨论的话题，相信我，我们会讲到的。我知道我们在这一个项目上花了很多时间，但它确实是当下大部分话语所在的地方，我还有几件事要在这里说。例如，如果机器在证明生成方面更擅长，做数学的实践实际上会是什么样子？如果我们采取那个乐观者的视角——那个为此感到兴奋的人——它基本上看起来是投入理论构建。你不再被你能多快解决沿途某些问题所限制。你可以问你所有想问的问题，你可以更快地看到它们的解答是什么，你可以尝试解析那些，理解这如何融入一个更大的叙事，所有你正在看的证明中简单性的要素是什么，你如何将这一切编织成一种新理论的织物——就像伽罗瓦引入群论或格罗滕迪克发展代数几何那样。你作为个人能完全生长出什么？也许你的博士论文不是少数几个证明，而是那整个理论构建。一个类比是：就像读一本教科书，你能够更快地理解那些材料，部分原因是你后面有答案。这不是说你应该总是看答案，你仍然应该做那些问题并参与其中。但如果你卡住了，有一个更连贯的答案呈现确实帮助你摆脱困境，让你比完全在未知领域时移动得更快。现在你确实需要在这方面深思熟虑。例如，很多机器生成的证明会使用源自人类发表的出版物的想法，目前这些的归因并不总是自动的，所以这显然是一个问题，意味着你必须付出额外的努力来确保荣誉归于应得之处。

但承认那种我提到的非常真实的欢乐丧失，我认为很多数学家会看着我刚才描述的说："天哪，那看起来太可怕了。我不想坐在那里试图解析一堆机器生成的垃圾，只是理解别人已经回答过的问题。我想自己找到解答。我追求数学的全部欢乐就是自己去做，自己对事物形成自己的理解。"我确实认为处理那种感受也许是整个社区作为整体目前需要面对的更重要的问题之一。但我怀疑至少部分那种感受可以归因于两件不同的事情。其中一件是，目前从模型出来的东西的解释质量往往还有很多不足之处，没有人想只是解析一堆垃圾。我怀疑那会变得更好。我认为这可能是历史上的一个暂时性波动——你有证明生成，但它也几乎不可理解。模型公司有巨大的动机让它们的模型能够很好地解释事物。如果你看代码的轨迹，我认为早期很多生成的代码即使功能正确也相当粗糙，而轨迹一直在朝着更干净的方向发展。人们可能在那一点上跟我争论——它们确实过度注释了——但大体上，我确实认为那是轨迹。

更深层的问题，我怀疑，是围绕数学社区重视什么以及荣誉在哪里被分配的文化惯性。因为令人难受的事情之一是，如果你感觉你在追求一个问题，然后一个模型找到了答案——特别是如果它来自模型公司而不是你与它的互动——然后感觉那个问题被解决了，你只是在后面扫地。在数学历史的很长一段时间里，我们一直用证明作为理解的代理。它是我们瞄准的北极星——证明某样东西意味着你理解了它。我们有那些宏大的未解决问题，我们认为证明被创造出来的那一刻就是它们被解决的那一刻。现在当然那不是全部，每个人一直都知道那不是全部。如果你向期刊提交一篇论文而它写得很差，他们会直接退回来。如果你在其中证明了一个非常重要的定理但它写得很差，他们会感到沮丧，因为他们知道他们应该关心，但他们仍然会退回来，解释清楚的责任在你身上。我认为在这一点上，我们应该将证明视为与数值计算类似的东西——也就是说，它是一种原始数据的形式，对理论构建有帮助，但它本身绝不是目的。顺便说一下，这不是我自己的想法，其他人也将机器生成的证明视为更像数据的东西来对待。但我认为非常广泛地说，将理论构建视为目标而非证明，将证明视为一种可以插入其中的原始数据，有一种解放感。例如，我不关心 Navier-Stokes 问题的强制爆破。我关心的是如果有人理解了那个证明中的想法，以及从那些想法中可以绽放出的那种数学——成为一种美丽的、连贯的理论。如果有人投入工作去做那件事，给他们千年奖。那才是我们最初关心它的原因。证明只是数据，就像给我更多 $\pi$ 的位数一样。这也影响了你如何做研究。也许有时候你需要再一个证明，与模型互动是做到这一点的最好方式。但很多时候可能不是，更好的是合上笔记本电脑，自己潦草地写下你的理解，然后问：现在阻碍我发展更深层理论的到底是什么？是再一个证明吗？还是我对现有证明的理解有什么问题？再次拉出我们的数学研究组成部分，如果机器生成证明但不能很好地传达它们，那确实意味着你仍然需要人类数学家来使它们变得可理解。坦白说，那可能不是最有趣的部分。也许这取决于你的视角。无论如何，我假设那是相对暂时的，让我们就说机器也变得更好地传达它们的想法。顺便说一下，那只是书面交流。一种同样有价值的交流形式是更社交的一面，通常通过口头报告发生。我认为在整个未来轨迹中，口头报告能力的相关性只会越来越高。机器不能替你理解，而数学的一个重要部分是让其他人理解并关心，我们是社会性生物。所以即使机器更擅长解释，让我们关心的很大一部分是看到另一个人真正关心。

当机器也擅长提出猜想

这里有一个项目是提出问题，决定哪些定理值得被证明。目前，那仍然是一个令人难以置信的充满活力和高度杠杆化的领域，数学家可以在其中投入时间。但让我们想象一下，再次为了论证的目的，机器在那方面也变得更好了。你与模型的互动不仅仅是要求它证明一个特定的定理，而是它回来说："这里还有其他值得问的问题，可能会产出丰硕的数学。"而且无论我们如何定义它，它们在提出那些问题方面比数学家更擅长。这显然与理论构建之间有一条非常模糊的界限，但至少让我们参与一下：假设人类仍然在理论构建那一边更擅长——真正理解这广泛的一组定理及其证明方式的意义。那才是与下游应用最相关的，因此从资助数学的角度来看，不仅这样做仍然有意义，你在这样做时拥有更大的杠杆，因为每个个体数学家能够比以前更快地推进理论。在培养问题解决肌肉那一边，一如既往，就像健身房的哑铃。机器是否更擅长并不重要。你仍然想要一种实践——人类被训练如何做到这一点——假设人类的问题解决能力在任何程度上是相关的。在审美欢乐方面，我认为我们继续看到一点分裂。有些人不会觉得一个模型既提出自己的问题又回答它们很有趣。我知道我自己可能会花一辈子的时间试图在自己的脑海中想出有趣的问题，并找到自己的方式来回答它们，不管模型能做什么。但也会有那些感到兴奋的人，他们在构建理论、理解那些理论方面感到越来越少地受到限制，甚至开始看到它们如何被应用——其节奏不再是等待几十年或几个世纪才有下游应用，而是也许能更早一点去寻求它们。

当机器也擅长理论构建

但如果——今天的研究生可能会问——理论构建那一边也倒下了呢？如果在某种抽象意义上推进理论数学的最有效方式不仅是让机器生成证明或问它们应该证明什么定理，而且它们也在消化所有这些证明，找到其中的简单性要素，理解你真正需要编织什么样的新颖织物才能围绕它形成一个连贯的理论呢？那将类似于给它所有到 1500 年代的数学，然后它不仅解出三次方程，还想出如何表示它的正确记号，想出复数理论，你知道的，所有那些下游的东西。也许你认为那不太可能，那种真正新颖的思考水平在当前的 LLM 中是不可信的，鉴于它们对人类知识和训练数据的依赖。但再次，为了假设性探索，如果什么都不说，在那个世界里数学领域会是什么样子？好吧，就我们想要在现实世界中产生应用而言，根据这个假设的假设，模型在生成所有理论方面更擅长。但你仍然需要有人充分理解所有这些理论，以看到它如何在周围领域中得到应用。这些东西中是否有任何与治愈癌症相关，或者与使核聚变成为现实相关，或者与高温超导体相关？那才是所有橡胶真正接触路面的地方。在个人问题解决那一边，与整个故事中的情况一样——你在健身房。机器是否更擅长并不重要。如果人类的问题解决肌肉在任何程度上是相关的，你仍然想要他们经历所有这些的实践。

在审美和欢乐那一边，我意识到我实际上一直在混淆两件不同的事情。所以我说的欢乐的一个版本是任何在任何层面上做数学的人所体验到的。那是看到巧妙解答并感觉它在你脑海中咔哒一声时带来的那种非常独特的满足感，或者是理解一个新主题可以改变你的思维方式——以一种非常令人向往的方式。那就是你和我在这个频道上所做的一切。然后另外，还有前沿研究者所体验的欢乐——那种推动前沿前进的感觉。现在在第一个类别中，那个在我看来或多或少不受 AI 是否在清单上某些任务中更擅长的影响。它完全类似于问题解决那个位置。出于同样的原因，为了体验这一部分价值，你必须是真正在做数学、在自己头脑中参与的人。现在，能够做数学的模型的存在可能对某些人的那一方面有一些影响，但我也认为欢乐的这一面更加本质上是公共的或社交的，或者至少它从公共和社交中受益。我认为当你与其他对此充满热情的人在一起时，或者当你看到另一个人对此充满热情时，感到对某事物的热情要容易得多。它可以在孤立中发生，确实可以，但那个社交成分永远会是一个放大器。就我而言，我总是想要参与更多的数学片段，在自己的头脑中理解它们，并与你们分享，并花一生与你们分享它们，无论任何机器的能力如何。

至于研究者所体验的欢乐，这里再次，我认为我一直在描述的那种分裂只是被放到了越来越尖锐的焦点中。你可能会永远有那些被一台机器所提供的一种非常新的通往数学世界的窗口所激发的人，我认为你也会永远有那些觉得这极其令人沮丧的人。因为让我们面对现实，这里确实失去了一些东西。长期以来，你一直在推进人类理解与所有这些下游应用之间有着紧密的耦合，而在我们谈论的这些假设中，那些正在越来越脱钩，这可能意味着对某些人来说，纯粹为了推进人类理解本身的那种感觉失去了一点力量。也许你不想读一本后面有答案的教科书，即使你不必看它——那击败了全部的开拓精神。我和之交谈的很多数学家，我认为对处于前沿或成为第一个发现某物的人并不那么感兴趣。他们似乎真的在社区的性质中找到了大部分欢乐。所以毫无疑问，你将看到数学社区中出现越来越多的子潮流，倡导推进人类对数学的理解本身作为一个值得追求的终极目标。所以总结一下它在我们图表中的相关性：只要学习数学总有欢乐可以获得，并且那可以通过教学渠道流动——假设人们愿意付费学习它——那就不受影响。但坦率地说，如果那种欢乐的一部分也许来自成为先驱的希望——成为第一个踏入新理论的人——让我们承认，那将是一种失去。

当机器在所有方面都超越人类

为了把它全部推演完，看着我清单上的最后一项：假设机器不仅在生成证明方面更擅长，不仅在提出其证明将产出丰硕数学的猜想方面更擅长，不仅理解那些丰硕的数学是什么以及它应该如何被封装进好的定义和好的理论方面更擅长，而且它们也比人类更擅长看到那些理论插入什么应用中、将其嵌入科学和工程。让我们称之为"你能做的我都能做得更好"的未来。这里事情开始变得更有趣，因为第一次在这个价值链上，理论上所有流向应用的效益在机器中发生会更好。所以理论上，就公共和私人资金是由下游应用驱动而言，这些资金最有效的使用方式将是把它倾注到某个只是做数学的大块计算上——它创造理论，将理论嵌入应用，在那个意义上推动事情前进。如果我必须猜测，即使在那个时候那将是资金的理性使用——就它们由下游应用驱动而言——我觉得很难想象政策制定者只是拨动开关，公共资金不再流向人类而是流向一大块计算。我能想象的是某些从 AI 本身中变得极其富有的个人开始设立私人基金会，只是把资金倾注到一大块做数学的计算上。那似乎有很大的可能性会发生。在公共资金那一边似乎更可能的是，人们会越来越多地谈论来自数学的其他正外部性。例如，拥有这个培养问题解决者的机构，他们溢出到世界其他地方——那仍然极其有价值。仅这一点本身就对任何公共资金给予正的投资回报。或者如果出现正式机构，围绕人类为人类繁荣而做的数学——那本质上是将数学拥抱为一种艺术，它一直是艺术，也许在那一点上那就是资金被感知的方式。它像艺术被资助那样被资助——既有公共的，也有某些私人慈善渠道。但再次记住，那些甚至不是数学大部分资金的来源。大部分来自教学，而教学的价值最终来自价值链中的下面两个要素：训练人们培养问题解决肌肉，并在他们心中灌输一种非常特定的欢乐。这个"你能做的我都能做得更好"的未来所暗示的未来如此狂野，甚至很难严肃地参与。作为一个旁注，所有这些对话都取决于一个事情进展顺利、没有灾难性事件发生的分支。所以再次，也许有些人认为 AI 安全现在是他们更应该工作的地方。但当我们参与这个话题并假设那是未来的一个好的分支时，在我看来，你很可能仍然会有类似现有大学结构的东西。即使理论上 AI 更擅长解释事物，人们仍然想从人类那里学习，因为教育的瓶颈不是解释的清晰度，而是动机。人们是否真的想学习那些材料，什么激励人们？有时候只是纯粹的学习本身的欢乐，但我们是社会性生物，激励人们学习的很大一部分是看到另一个人对此深深充满热情——特别是如果那是他们尊重或关心的人。教学总体上在我看来是从 AI 替代工作的角度来看最安全的位置之一，因为它是如此关系性的，因为它如此依赖于人与人之间的互动。无论通过屏幕产生多少清晰度，都无法替代那种东西。

我们站在哪里

那么这让我们站在哪里？我认为在可预见的未来，研究需要越来越多地强调数学的理论构建那一边——它一直是这样的，那一直是重点。但主要的区别是，证明曾经是那个目标的一个非常有价值的代理，而它正在失去作为代理的价值。在这一点上，它是一种原始数据的形式，它有可能成为一种有用的原始数据形式，是的，毫无疑问我们必须改变我们如何衡量人类的学术贡献。但那可能是一件好事。证明本身可能几十年来一直被高估了。同样，就这个机构对磨练问题解决技能有价值而言，它也确实提出了如何确切地做到这一点的问题，因为之前做那种训练的方法不再适用。例如，仅仅布置和评分问题集在现在并不真正有意义。然后即使你担心某个科幻未来——所有数学真的可以被机械化——或者即使你担心问题解决技能的训练不知何故不会有用？似乎有点牵强，但让我们参与一下。只要做数学有欢乐存在，数学对人类就永远有价值。我对最后一点最看好的原因——即使在那些狂野的科幻未来中它也将作为一个支撑柱存在——是因为这个频道。我的意思是，想想这里正在发生什么。外面有数百万你们愿意在这里参与，而我们实际上在做的是……只是沉浸在数学的美中，找到优雅的、解答非常令人满足的问题，或者试图灌输新的思维方式。现在坦率地说，并不是数百万你们愿意为此付费——那当然很好——但有数千人愿意，那就改变了一切。看看这个频道之外，我最喜欢引用的一个例子来说明公众对数学显然有很大的胃口，是考虑 Brady Haran 经营的所有频道——在所有频道中，最受欢迎的远远是他做数学的那个。或者把时间倒回一点，如果你看 Martin Gardner——现代数学普及的教父——最初他的专栏出现在《科学美国人》的末尾，但后来他们不得不把它移到开头，因为太多人是为了他的专栏才订阅的。显然，一旦人们尝到了数学真正是什么的滋味，社会对它就有一种巨大的胃口。所以我认为数学社区明智的做法是向外转，去满足那种渴望。

为什么现在是最好的时机

在这期内容的大部分时间里，我只是在阐述为什么我认为数学制度是有价值的、将继续存在。但我以一个更强的论点开头。我说我认为这是进入数学的最好时机之一，我猜测很多点开这个视频的观众可能预期我的意思是 AI 将解锁数学中的新机会，但实际上我不是在指那些。我认为这是最好的时机之一的原因是，整个社区都知道它需要改变，如此多的人在退缩、寻找关于那种改变应该是什么的指导和榜样。所以你，作为那个领域的新进入者，有可能在它历史上最关键的时刻之一真正影响它将成为什么。我认为那是令人难以置信地兴奋的。

所以对那位博士生的评论——"告诉我明天该做什么"——我可以告诉你如果我是 2026 年的博士生我会做什么。我会做 Three Blue One Brown。我会做完全就是这个。如果十年前我走进某个数学系说："嘿，我有一个概念，用高度视觉优先的方式来解释数学，哦顺便问一下，你们能把那做成一个学术认可的博士论文吗，不仅仅是一个爱好？"我几乎会被每一个系嘲笑出来。我不确定我年轻时的自己能今天做到这一点，但如果有任何时候人们会对此持开放态度，那就是现在。现在我不是说那就是你应该做的。你应该投入任何让你热爱数学的东西。我热爱解释它，我热爱可视化它。那是我的热情，那是我想要奔跑的方向。但你的呢？你想带着什么奔跑？如果你热爱理论构建那一边，你想成为下一个伽罗瓦或下一个格罗滕迪克，很好，带着那个奔跑。你有一台证明生成机器可用，它将在未来四年变得越来越好。也许你可以用它创造一篇世界从未见过的博士论文——一台机器开辟一个你在以前的世界中永远无法到达的新领域。如果你不喜欢模型，你不想使用它们，它们让你口中留下不好的味道，很好，也投入那个。毫无疑问，数学社区中会有子潮流想要建立"人类为人类做的数学"是什么样的、那会是什么样子。你可以插一面旗帜在沙中。你可以决定一篇体现那个目标的博士论文看起来是什么样子。

我会做的另一件事是认识到，如果机器在研究栈的任何子集上更擅长，衡量一个人对材料的理解及其推动领域前进的潜力的最有效方式——无论那意味着什么——将越来越多地转向口头报告那一边。所以做报告，做很多报告，变得非常非常擅长做报告，让那成为你实践数学的一个非常规律的部分。

现在，我对明天字面上该做什么的最具体建议是：去散一个长步。找一个朋友，也许是你项目中的另一个人，和他们一起反思——你喜欢数学的什么？你为什么进入它？问他们，他们热爱什么？他们为什么进入它？然后一起头脑风暴，你们究竟想让未来几年的生活如何为这个价值栈的各个不同部分做出贡献。就我而言，我仍然热爱数学。我将永远热爱数学。我将永远热爱找到方法来可视化它并在这个频道上与你们分享。我对你最大的希望是你能找到一种方式来投入你自己的热情。社区从未如此开放，他们会倾听你要说的话。

我这几年能作为业余兴趣差不多稍微看明白几篇 oai 的 math preprint 就满意了（今天起床发现 eth is false 有感）

https://www.bilibili.com/video/BV17C4P6CE5f/

漫士视频字幕转录

AI 时代，数学到底该怎么办？

Q：最近后台很多人问我还要不要学数学，你为什么也想专门聊一期这个事？AI 在数学上究竟做到了什么地步？

我的后台有很多热爱数学的粉丝，他们最近经常问我说，自己现在很迷茫，甚至很绝望，不知道到底还要不要学数学，应该怎么办。我自己最近几个月也做了好几期 AI 在数学上突破的解读视频，眩晕瘫坐了好几回，有很多感慨，所以这次咱就好好地聊一下这个事。观前提醒：本期都是我个人观点，欢迎大家友善讨论、表达不同的看法，不喜勿喷。先给不了解的观众科普一下背景：2026 年 10 月，OpenAI 发布了 700 多个数学结果，几乎把前沿数学研究的每个领域都炸了一遍，后来还追加了三个，许多领域被连根拔起。比如调和分析，最主要的几个猜想几乎都被解决完了——王虹因为解决三维挂谷猜想就得了菲尔兹奖，而现在 AI 解决了局部平滑性猜想，从而直接把所有维度的挂谷猜想全都解决了。还有理论计算机里的指数时间假设 ETH 和强指数时间假设 SETH 都被证明不成立，这可以说是直接连根拔起了细粒度复杂度分析（fine-grained complexity analysis）的整个基石。相比之下，之前解决千禧年大奖难题里的纳维 - 斯托克斯方程，简直就是 AI 随便练了个手而已。

人类数学家在这几个月的时间内，突然被这一连串的核爆炸炸得无题可做，无数人开始讨论我们是不是不需要数学家了，很多数学家也开始团结起来抵制 AI。他们说大模型的这个行为是纯粹的算力炫耀，原文叫 demonstration of power；他们拒绝做商业公司免费的审稿人，反对这种不负责任的结果发表，并且反复强调：数学并不是解题，而是在解决过程中所形成的理解，和创造全新理论的工具。所以他们说，AI 公司对这些未知难题的粗暴解决是破坏性的。有些数学家标榜自己是 AI vegetarian，在论文写作、思考和推导当中不使用任何 AI，并以此为荣。

Q：你自己好像也被冲击得很厉害？能先讲讲你原来做的是什么，日常又是什么样的吗？

我自己对这件事情体会确实很深，因为我本人的学术研究领域也被 AI 冲击得很厉害。我博士期间研究的核心课题是深度学习理论，这其实是 AI 领域非常接近于数学的存在，用到的基本工具全都是各种高维统计。你想要做出自己的工作，就得先埋头啃一整套前置的数学知识，理解很多抽象的概念，比如 sub-Gaussian random variable、$\varepsilon$-net covering，还有 chaining 等等，深刻理解背后的含义之后，再去读这个领域已有最新成果的论文。要知道读这些论文的过程是非常痛苦的，因为基本上动辄就是几十页甚至上百页，整篇论文有若干个主定理，每个定理背后是几十个层层嵌套的引理，而且每个引理还有微妙不同的假设。你需要在海洋一般复杂抽象的符号当中抽取出整个证明到底是在干什么、为什么成立、哪里有局限的一种 high level 的理解，然后再尝试自己能不能放松什么样的假设，做出一个更一般一点的结果，乃至于提出一个全新的设定去解释某种机理。

那经常就是一支笔、一本书、一堆草稿纸，在图书馆和工位上一算就是一天，每天看到的却全都是这种东西，大家可以感受一下。几个星期之后，你才算刚刚入门，知道这个领域之前的论文都是什么意思。全程你还要把自己的思考和这些公式推导写在一个巨大的垃圾文件里，方便之后投稿论文。我相信仅仅是听我这样描述，很多观众都会觉得读博做理论研究就像鬼故事一样，而事实上的确如此：清贫、枯燥、苦闷。

Q：既然如此，这些数学研究者把最青春的年纪投进一堆纯粹符号的痛苦推导里，到底图什么呢？

这里有高尚和庸俗的两个答案，而且这两个答案都是真实的。高尚的答案是，因为这个过程有攀登人类智力高峰的骄傲和自豪感。就像攀登珠峰一样，你知道你拥有着最顶级的身体素质和经验，你正在涉足人类前所未有的领域，成为第一个见证山巅的人，并且你还能为后人指明攀登的道路，收获 credit。当你花了很大的功夫，在长久的苦闷之后，突然第一次把整个思路和证明的流程跑通、领悟到解决这个问题的关键的时候，那种通畅感和快感是难以用语言去形容的，会在一瞬间让你觉得之前经历的一切都值得。另外一个庸俗的答案是，通过解决这些数学问题，你就可以发表论文、获得学位，乃至于教职，收获工作、地位和金钱，成为拥有终身教职铁饭碗的教授，金光闪闪，受人尊敬，每天在黑板上讲点数学就能对付完这一辈子。

我不知道其他的理论研究者或者数学研究者是不是也一样，但这些的确是让我坚持下来、甚至热爱这些数学和理论研究的原因。在很长的一段时间内，我也一直想着之后怎么努把力，破解神经网络的谜团，构建起来一套解释深度学习的统计学习理论，继续做研究。但是，AI 来了，大模型来了，它沉重地打击了这条道路。

Q：具体是哪一刻让你意识到这条路变了？为什么你会觉得那些理论成果几乎一文不值了？

首先是没有人证明能比得过 AI 了。我在普林斯顿交换的时候有一个遗留的问题，我和普林的小伙伴一起啃了几个月，没有任何进展，试了很多方法。然后一年多过去了，GPT-5.5 出现了，我想起了这个问题，于是我充值了一个 200 美金的 Pro 会员，把这个问题扔给 AI。短短 40 分钟过去，AI 告诉我它证出来了。我花了几天把证明过了一遍，发现有一个地方有一些跳步，我就跟它说这个地方不对，让它解决、返工，20 分钟之后，这下就彻底解决了。就在那一刻，我静静地看着 AI 噼里啪啦生成几百行的证明，想起我在普林斯顿的那些日子里辗转反侧，走在路上都在想这些问题，茶不思饭不想，时不时灵光一闪就赶紧去尝试，打了厚厚一叠的草稿纸——这一切在现在 AI 噼里啪啦生成的结果面前，就像笑话一样。

我也意识到，现在这个理论的研究成果几乎一文不值了，因为任何一个研究这个问题的人都能像我这样，直接把问题扔给它，给一个提示词，然后就能得到这些结果。我们的这些研究本来就是在一个相对不那么真实的场景里的一个简单的建模，在以前我能说这个结果能有一定的启发意义，但其实我们理论研究者心里都知道，这个论文能有意义，最重要的原因其实是：这个世界能推导出这种理论结果的人没有几个。现在谁有这想法，就能让 AI 去做实验、推定理，那这样的结果将会遍地都是，从而彻底失去价值。就比方说你看看现在的顶会，一次能有几万篇投稿，超过之前好多年的总和。也正因此，很多人预期理论研究的经费之后将会大为减少——反正之后烧 token 问 AI 就行，我还为什么要养人呢？

Q：这种眩晕、失落和自我怀疑，背后指向的是一个什么样的问题？价值又会流向哪里？

我所经历的这种眩晕、失落和自我怀疑，其实就是今天整个数学界、理论界，乃至所有脑力劳动者集体的缩影。AI 接连不断的核爆把一个血淋淋的问题扔到了桌面上，逼我们回答：我们过去引以为傲的理论研究，到底有多少真的是在探索宇宙的真理，又有多少其实只是在靠人类智力的稀缺性，赚取同行评议和职业身份的门票呢？这个世界底层的经济规律是物以稀为贵，所以我们会给顶尖的运动员、艺术家、律师、电竞游戏玩家极高的薪酬甚至社会地位，数学家和其他各种理论研究者其实也不例外。同样地，如果一件事情有好多个流程，那么在所有流程里赚取最多收益、收获最多地位和认可的，往往也是最稀有的、整个环节中最难的那一步是由谁来完成的。

那数学研究这件事有哪些流程呢？北大的袁新意老师在最近一场论坛上，把数学的发展拆成了三个环节，分别是提问、解题和总结。我想再拆细一点：首先你要有一个预先的范式和思想的框架，然后在这个范式里提出重要的问题，接着是解决这个问题、给出证明，然后是理解、消化、阐释、传播，最后是总结并启发一个新的问题乃至框架。在过去的几百年里，这一条流水线上最难最慢的一环其实一直是解题的证明：一个猜想几十年没人证出来，谁证出来谁就是英雄。于是整个数学界的评价体系，包括招聘、晋升、基金、大奖，几乎全都围绕着这一个环节搭建起来。陶哲轩最近把这种状态叫做数学 1.0，也就是很多数学家现在缅怀的那个浪漫的个人英雄时代，它默认的前提就是证明稀缺——证明一个开放问题非常困难、非常罕见，需要大量的人类专长和百年一遇的天才。但现在 AI 把这一环的成本砸到了地板上，OpenAI 说那一批 700 多个结果，平均每个只用了大约三个小时的计算。你想想看，一个数学家一辈子的工作，抵不过轰鸣的算力机器几个小时。那问题就来了：当流水线上曾经最贵的那一环突然变得几乎免费，价值会流向哪里呢？

Q：历史上有类似的事情发生过吗？它们能给我们什么启发？

历史上这种事情发生过很多次，或许能给我们一些启发。印刷术出现之前，抄写是一门受人尊敬的手艺，但后来印刷术出现了。在 1492 年，有位修道院长特里特米乌斯专门写了一篇文章，劝修士们要坚持手抄，说手抄才有灵魂——你看，是不是很类似。再往前，《斐多篇》里还说，哲学家觉得文字的发明是非常有害的，因为它会让人不再去大脑里记忆，大家就都不去记忆了，它会有害于我们的思考。今天还有很多人在工业流水线制作工艺品和食品的视频底下说，你们这样是没有灵魂的。有意思的是，这一篇说应该坚持手抄的文章，没过多久就被印刷出版了。印刷术让复制文本这一环变得廉价之后，出版真正值钱的就变成了值得印的书、能校订编辑的人，以及读得懂书的读者，而手抄文字不再像以前那样地位崇高。

所以我的判断是：数学不会消失，但数学内部的价值体系会彻底重排。我们必须接受而且适应，解题不再是数学研究中最核心的价值，并且回答数学之后应该何去何从的问题。目前数学界和 AI 之间有一种极为紧张的关系，热爱数学的人也感受到非常苦闷和绝望，很多数学家在外人看来有一些非理性的行为，其实这一切的一切，归根结底就在于原来这个价值评估的体系要重新调整，而调整需要时间，大众的认知也还没来得及适应。在当下，一切都完全滞后于 AI 疯狂的发展，所以造成了很多的问题。

Q：比如很多数学家拒绝检查 OpenAI 放出来的那 700 多个结果，这是小家子气、掩耳盗铃的鸵鸟心态吗？

事情没有这么简单，这背后有个很复杂的原因。在数学界以往的习惯里，第一个提出证明的人 A 享有几乎全部的荣耀，哪怕他的证明后来被发现有瑕疵、被 B 补上，又在之后 C 提出了一个简单精美得多的证明，再被 D 凝练、发展成一套全新的视角和工具，B、C、D 三个人都无法依靠这些贡献，在学术界的认知和职业体系里获得什么太大的收益。这是因为数学界是一个极度崇拜智力和 first one takes all 的地方，最高荣誉属于解题者。那你一个 AI，直接把这么多数学研究者的研究经费、毕业论文、长聘课题和菲尔兹奖的题目全都做完了，数学教授们还吃什么？在以往，数学家们阅读这些证明是为了社区建设，确认一个最新的工作是不是确实是重要的进展，学明白精髓，看看能不能自己做出一些突破；但现在 OpenAI 这样直接把一大坨自己也没有完全检查清楚的证明放在网上，数学家们审阅论文纯粹就是帮 OpenAI 免费打工，自己钱也捞不着，名也得不到，可是为了让后人能搞清楚这个证明到底算不算成功，还必须得给一个答案，只能捏着鼻子检查。说实话，让我设想代入一下这些数学家，我也会觉得挺烧心的。

现在有很多怀着朝闻道的精神的数学家在阅读这些证明并且尝试理解，但其实他们的心情是十分悲凉的。因为他们知道，尽管自己过去很多年都在研究这个问题，甚至可能离解决它只差临门一脚，但 AI 来了，抢走了所有的功劳，他们永远没有办法在这个重要问题解决的历史里留下自己的名字或者任何痕迹了。未来像怀尔斯那样，一个人不知道啃了多少硬骨头，突然石破天惊地告诉全世界自己解决了一个几百年的难题——费马大定理——这样的故事将会彻底成为历史。

Q：这种"谁先做出来谁牛逼"的文化，对身处其中的人意味着什么？

绝大部分学习数学、尤其是以数学研究为生的人，是完全不适应这个变化的。大家都习惯了去找难题，第一个把这个题目做出来，然后名垂青史，在潜意识和价值判断里无限推崇做出这个题目的人：你能做出来，我做不出来，那你牛逼，我是菜逼。这种简单粗暴的智力崇拜，和以解题能力对所有个体进行全序比较的文化，我自己当时就深有体会，也听很多数学系的同学吐槽过，说这种氛围让他们感受到窒息、压抑和痛苦。我不知道前些时间那个非常火的所谓"感到 discourage"，是不是也跟这个有关系。其实想想你就会明白，如果你仍然把第一个解决困难的数学问题作为自己价值、意义和学习数学的乐趣所在，而这一点现在又必然地被 AI 无情地碾碎，那么痛苦、焦虑和抑郁就成为必然的结果，不可避免。

Q：如果证明命题、解决具体的数学问题不再那么重要，什么会变得更有价值？

我个人觉得有两样：一是提出新的框架和定义，二是理解、交流和诠释。数学圈里流传着一句老话：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家写下定义。这也正是我想说的。整个数学工作流程的第一步，你需要先有一个基本的范式框架，也就是定义和一整套研究问题的思想。笛卡尔引入坐标系，给了全人类一整套新的思考方式，从此几何问题可以变成代数计算，它的影响远远超过回答任何一道具体的几何题；伽罗瓦为了回答五次方程能不能用根号求解，发明了群的概念，而群论的意义远远超出了五次方程本身；1854 年黎曼在哥廷根做教职报告，把高斯研究曲面时所发现的内蕴几何推广到任意维数，提出了流形和度量的概念；到了 20 世纪，格罗滕迪克重写了代数几何的地基，他形容自己的做法是遇到一个坚硬的问题，不要拿锤子去砸，而是让理论的海水慢慢上涨，直到问题自己被淹没和化开。

在过去，这类工作被默认是高斯、阿贝尔、黎曼、格罗滕迪克这种千年一遇的天才才配干的事情，我们普通研究者的日常是在别人搭好的框架里去解题，比如加一个条件、改一个指数、把一个估计推得更紧一点，然后以此来发表论文，获得教职和自己的营生。可现在，在既有框架里解题这件事被 AI 做得又快又好，所以我认为，如果一个数学家真的天赋异禀、才华横溢，而且依然想要为数学研究添砖加瓦，那么就应该勇立潮头，大胆地去做那些曾经只有开山鼻祖才敢做的事儿。至少目前看来，AI 还不能在这个级别上做到范式级别的创新：一个领域或者研究的问题如果缺乏语料，AI 还是捉襟见肘，没有什么建树。就比方说理论计算机科学的电路复杂度，这个领域人类自己都还一筹莫展，那这个研究方向你会发现 AI 也做不出什么东西。所以人类在开疆拓土上，我认为还大有可为。尤其是现在你有了 AI 之后，理解前人和其他领域方向的抽象论文的成本会大为降低，你可以直接跟最顶级的 AI 对话，chat with the paper，快速理解一篇论文乃至一整个领域的思想、方法和知识，我觉得这将成为未来大家值得工作的一个方向。这就好比说以前做一个蛋糕就要花一整天，所以大家都在比谁能把蛋糕做得又快又好、裱花最复杂，拼手速、拼花样；现在突然有了一台机器，你给它看一个照片、给个菜谱，它几分钟就能做出来一个完美的蛋糕，那这个时候卷手速、卷裱花意义就不大了呀。真正值得想的问题就会变成：还有哪种食物组合的菜谱没有人写过呢？甜品这种形式除了蛋糕，还有没有可能有各种完全没有想过的形态呢？

Q：那新的菜谱、新的框架和定义，究竟从哪里来？

我觉得首先就是要回到真实的世界，面向真实的需求和真正重要的问题。清华的薛金鑫老师最近写了一篇长文，他的一个核心观点是：数学界脱离现实太久了，在越来越细分、越来越技术化的问题里自得其乐，自己提猜想、自己写证明、自己评审。数学家为自己辩护的时候经常说的一句话是，我现在做的东西虽然没有用，但过几十年说不定就有用啊，比如黎曼几何后来被爱因斯坦用在了广义相对论里。可薛老师提醒我们去翻一翻黎曼 1854 年那篇报告的原文，他明明白白地写着：几何学的命题无法从一般的量的概念中推导出来，空间之所以区别于其他可以设想的三维延展量，靠的是那些只能从经验中得来的性质。黎曼想的从一开始就是真实的空间到底是什么样子的。历史上开辟全新领域的数学大家几乎都是这样从现实当中找到入口的：傅里叶为了理解热传导方程，发明了傅里叶级数；高斯在汉诺威主持大地测量，在这个过程当中系统地研究了曲面的弯曲，所以得到了高斯绝妙定理，开启了微分几何；庞加莱研究三体问题，开出了动力系统的定性理论，后来的混沌和拓扑学都从这当中受益；冯诺依曼和摩根斯特恩从人的经济行为出发，写出了博弈论；香农在贝尔实验室研究通信工程，所以 1948 年他的一篇论文开创了整个信息论。薛老师还引了 Caffarelli 的一段话，大意是纳维 - 斯托克斯方程是一个简单的模型，它的解是不是光滑在数学上很有挑战，但在科学上的价值却没有那么大，因为流体力学这些人真正头疼的是湍流，而数学界研究这个的人反而很少。

所以薛老师文章里有一句话，我觉得可以作为这一部分的总结：AI 时代稀缺的不是证明，而恰恰就是判断力——判断什么问题值得问、什么框架值得去建，而这种判断力最好的来源就是对真实世界的感知。现实中急需数学建模和深入分析的问题太多了，像刚才说的湍流、生命系统、气候、经济，还有我自己博士念念不忘的：深度学习到底为什么能 work，线性非线性的叠加为什么能够理解这个世界的规律。虽然说数学是一个纯粹理性抽象的符号系统，但构建什么公理系统、描述什么现象，却是深深扎根于现实世界的。比如数学里有一个东西叫做广义函数，教科书上的定义是"测试函数空间上的连续线性泛函"，光是理解这句话的每一个词就需要不少前置知识，可它背后的一个具体需求其实来自于物理，就是瞬时的冲量。真实的碰撞当然需要时间，但如果你只关心物体挨了这一下之后怎么运动，我们就会忽略内部的复杂细节，把它近似成一个瞬间发生、同时保留这一下造成的动量变化，也就是冲量。比如 $100\,\mathrm{N}$ 的力持续 $0.01\,\mathrm{s}$，或者 $1000\,\mathrm{N}$ 的力持续 $0.001\,\mathrm{s}$，它们产生的冲量都是 $1\,\mathrm{N\cdot s}$，画在图上就是一块越来越窄、越来越高，但面积保持不变的长条。我们希望把这个过程推到极限，作用时间趋近于零，但作用效果却依然保留，普通的函数无法表示这样的理想化对象，所以数学家就拓展了函数的概念，发展出了狄拉克 $\delta$ 和广义函数理论，它在物理学、偏微分方程、信号处理、量子力学和概率论中至关重要。

再比如说 18 世纪的法国，有个非常实际的工程问题：挖出来的大量泥土你要运到其他地方填坑，那你应该怎么安排运输路线，才能让总成本最低呢？数学家蒙日把各个位置的土量抽象成分布，把搬运过程抽象成分布之间的匹配关系，从而开创了最优传输理论。后来数学家进一步发展出衡量两个概率分布有多大差异的 Wasserstein 距离，成为现代概率论、偏微分方程乃至机器学习的重要工具。那这么抽象的数学理论，你看它最初的起点其实就是怎么运土是最省钱的。

Q：很多数学家担心 AI 解题太快会杀了下金蛋的母鸡，你怎么看？消化 AI 已有的证明真的有意义吗？

除了寻找全新的框架，我觉得深入消化目前 AI 已有的证明也非常有意义，这绝对是一座金矿。很多数学家担心而且指责说 AI 解题这么快会宰杀下金蛋的母鸡，这个说法的前提是：一个好问题的价值来自于人类为了解决它而发展出来的新思想和新工具——费马大定理本身没有什么用，为了证明它而发展出来的一整套模形式和椭圆曲线的理论才是金蛋，那现在他们说 AI 一下子把题做完了，鸡就没了。我觉得这个担心有它的道理，但不能这么武断。短期内被宰杀的所谓"鸡"，其实根本不是数学理解本身，而是数学家的职业体系。打过数学竞赛的人一定明白一件事：一个证明只要是对的，它就一定以某种形式深刻触及了整个问题中它最困难的那个原理的核心，一定是绕不过去的，如果你绕过去了，这一定是伪证；证明本身越短越精妙，这个方法所蕴含的洞见和拓展意义就越大。

所以说只有两种可能。第一种，这种猜想真的如大家的品味所料，背后藏着重要的新知识和方法，那么不管 AI 是怎么做出来的，只要它真的做出来了，它的证明里一定包含着本质上重要的东西、方法和思想，只等人去把它挖出来然后理解。虽然说现在 AI 的写作的确很糟糕，但一定是有新东西的呀——这个题大家没做出来，它肯定把一条路走通了呀。第二种情况，就是你发现这个证明里什么深刻的东西都没有，那只能说明人类当初提这个猜想的时候就想多了，以为它触及了深刻的原理，其实就是一个小小的 corner case，一厢情愿。我觉得在 AI 目前一视同仁的狂轰滥炸下，尤其是它这种神一般的找反例能力的考验当中，很多数学猜想被证明纯属人类想多了。比如雅可比猜想，1939 年提出，人类用了 80 多年试图证明它是对的，结果今年夏天有研究者借助 AI 直接给出了三维情况下的反例，只有几行式子，这顺便也否定了三维以上所有维度的雅可比猜想。这种筛选和快速的排除，我觉得对数学研究绝对是有益的。你像埃尔德什的单位距离猜想也是一样，大家花了几十年都想证明它是对的，而 AI 转头就去找反例。AI 在数学证明这件事情上不一定比人聪明，但它没有心理惯性，没有对权威的敬畏，也更加有耐心。

有很多人批评 AI 只是在取人类知识的凸包，但很多这些人没有认真地读过 AI 的证明。单位距离猜想的这个否定理，AI 把代数数论里看似毫不相关的工具搬进了离散几何，Alon、Gowers 等人随后核验并且简化，并把它放回了整个领域的脉络里。为什么一个关于平面上点和距离的问题会跟代数数论有关呢？这背后很有可能藏着一个我们没有看清的结构，而这样的结构往往就是通向一个全新数学的入口，不是吗？

Q：有没有已经发生的、让人觉得可喜的例子？为什么说阐释应该被当成一流的数学贡献？

很多数学家已经在做这种淘金的工作，我觉得非常可喜的一个例子就是西格尔零点问题。这是解析数论里困扰了数学家近百年的问题，它是广义黎曼猜想的一类潜在反例，因为它的存在可能使很多重要的定理都只能写成无法有效计算常数的形式。10 月初，OpenAI 放出了一份九页的证明，声称西格尔零点不存在。之后不到两周，Bill Banks 写了一份详细的阐释，Biskare 在此基础上给出了一个概念上更简单的证明，把原证明里复杂的插值和行列式分析换成了鸽笼原理和一个经典的定理，陶哲轩自己也在博客上写了一份完整的证明梗概。原本只有 AI 知道的东西，就这样一步一步变成了人类能理解、能传授、能接着往下做的知识，这就是很有意义的。我觉得如果我们让 AI 加强它所写论文的可读性，在适合人类数学家理解习惯的方向上把它做好对齐，然后数学家也踏踏实实地去消化这些金矿，一定会有非常重要的进展。数学不会死亡，而这些解题的过程也没有粗暴地抹杀理解。

为什么现在的数学家很多时候不做这件事呢？还是跟评价体系有关，因为他们做这些事情，大家只会觉得你没有解题啊。所以我觉得未来的评价体系需要给这样的人更多的认可和 credit。陶哲轩提出数学 2.0 就要提高阐释工作的地位，Grant Sanderson 建议仿照千禧年大奖难题设一份"开放阐释问题"的清单，说的都是这件事：在 AI 时代，把一个没人看懂的证明变成一条人能走的路，本身就是一项一流的数学贡献。所以这就是第二个之前被严重低估的数学工作流程——解读和阐释。

Q：可"讲清楚"这件事在数学界好像一直不太受待见，你自己读数学的时候是什么感受？

很巧的是，这也是我一直在做的事情。其实我自己读数学教科书和大佬论文的时候是非常痛苦的。今天有很多数学家批评说 AI 隐藏自己的思维链，写出来的东西晦涩难懂，我完全同意，但我感觉我读人类的数学书也没好到哪里去呀。满篇都是什么"注意到""易证""显然"，至于人家当初是怎么想到的，你只能自己瞎猜。绝大多数数学书一上来就是干巴巴地排出几文大钱，极为抽象的定义，没有什么例子讲解为什么要在那么细微的逻辑定义上搞出那么多微妙的区别，然后接着就是一大片你也不知道为什么要关注的性质和需要证明的定理。我不知道有多少人跟我一样有相同的感受，有相同感受的人可以打在公屏上。所以杨振宁就说，数学家写的书只有两种，一种是看了一页就看不下去的，一种是读了一行就看不下去的。但我也知道，我周围确实有些很聪明的大佬，他们可以在教科书完全不展开背后思维链的情况下自己领悟所有的逻辑，感觉这一切都非常的自然，所以这群大佬可以完全顺畅互通地进行这种仙家对话。这种感觉就像 $NP$ 和 $P$ 问题一样：大佬就是 $NP$ 图灵机，而我就是个 $P$（屁），只能听他们一堆抽象的字符串飞来飞去。

在数学界内部，我不知道很多人是不是不了解：只要不是特别具体的小同行，彼此之间他们的记号都完全不同，而且很多人也不屑于去做这种普及化的传播，一开口就只能是一整套抽象的黑话。薛金鑫老师在文章里也指出了这一点：数学家攻击 AI 的理由是没有让人类理解它们，可是人类数学家内部此前的理解也非常有限，一篇上百页的论文，真正逐行看过细节的可能只有一两个审稿人，其他人只是信任他们的判断，他把这叫做"信任外包"，不同领域之间更是极少相互理解。我个人觉得，这很难说跟数学里这种过度推崇解题而轻视阐释和传播没有关系。

Q：那"隐藏思维链"这个传统本身又是怎么来的？是数学家故意的吗？

如果我们把时间拉长到整个数学的历史，隐藏思维链这个传统在数学界其实由来已久。高斯就信奉大厦建成之后要拆掉脚手架，只给你看最终光洁的证明；阿贝尔吐槽他像一只狡猾的狐狸，用尾巴把自己在沙地上的足迹全都抹掉了。这背后的原因其实很复杂：那个时候没有完善的知识产权保护体系，所以很多数学家要做的都是一种接近零知识证明的事——我要让你知道我证明了我的解法是对的，但是你不能从中学习到我解决问题的任何思维方法的绝活儿，就是所谓防御性证明。那时候很多数学家其实本质上就只有那么一两个绝活，但这一两个绝活可以系统地在一系列领域和问题里都发挥作用，能吃一辈子；如果这玩意儿被别人、甚至是更厉害的大佬学去了，那自己就完蛋了。所以从这个意义上来说，数学家这些密不外传的解题心法，就和一家餐馆的独家秘方，或者说魔术师一个魔术的表演流程，本质上是非常类似的，隐藏思维链也是情理之中。当然，有些数学家隐藏思维链也未必是故意为之，很多时候只是他们自己的习惯，觉得我已经把解决问题的流程确凿无误地完整展示了，那我还要说什么呢？大家只需要 appreciate 这种正确性就够了。而在众人"他到底怎么做到的""他怎么想到的"这种猜测中，数学家甚至会得到某种隐秘的满足。

Q：在这样的环境里，你给自己找的位置是什么？历史上有没有把"讲清楚"做得很好的人？

总的来说，我的确是很早就认识到，在啃那些前沿数学的硬骨头以及解题这件事情上，和最厉害的顶级大佬相比我根本不能望其项背，也不是那种看到数学教科书的推理就能理解所有背后微妙动机的天才。我自己很认同顾森（Matrix67）所说的一句话：我不一定是最会解题的那个人，但我可以是把解法讲得最漂亮的那个人。把一个解法或者说一个成型的学科体系讲清楚绝非易事，很多老师其实也没做好这件事儿，无论是在课堂上还是在直播里，除了照本宣科，也不知道怎么用普通人能理解的话讲清楚数学研究。但数学界对此似乎很不屑，觉得咀嚼别人剩下的东西没有 credit，有什么意义呢？这些讲的东西太简单，远不如自己去攻城拔寨、解决未解的数学问题来得更帅和有水平。我自己就听过很多数学系的同学这样评价过我的视频：哎呀漫士，天天就讲点小儿科这种级别的东西，凭什么有那么多流量。

可是历史上最出色的科学家往往也是一个非常好的表达者。欧拉的推理过程就一直写得清清楚楚，展现了很多尝试的细节和失败的思路，拉普拉斯就说，读读欧拉吧，他是我们所有人的老师；法拉第在英国皇家研究院给孩子们讲《蜡烛的化学史》，一讲就是很多年；还有希尔伯特，20 世纪最讲究形式化的数学家之一，他和康福森一起合写过一本《直观几何》，满书都是图，人都能看得懂；费曼的物理学讲义非常的平实，到今天还是经典。Thurston 还专门写文章反思过自己的经历：在 70 年代，他在叶状结构领域短时间内证明了一大堆定理，结果没过几年这个领域就几乎被清空了，研究生也不再进来了，因为大家觉得问题都被他做完了，他的论证又很难懂；所以后来做几何化纲领的时候，他就花了很大的力气去写讲义，把自己的思路讲清楚，这样才围绕着它长出了一整个研究的群体。今天的 AI 一夜之间清空了好几个细分领域，面对的是一模一样的问题，你也难怪这些数学家会非常反对这种行为了。

所以我对自己的定位其实一直是一个花园的向导，或者说是像艺术馆、展览馆里头一个领你走的阐释者。我不追求站到山巅，但我喜欢在地基之间发现联系，把原本站在门外的有缘人领进来，让他们能看到里面的美妙。数学专业人士也完全可以在更高的层级做类似的事情，比如陶哲轩那份西格尔零点的证明梗概就是一个顶级的示范，说不定正是这种工作会启发出前面所说的那种开创框架级别的数学研究。也正因此，我非常认同 3Blue1Brown 作者 Grant Sanderson 的说法：也许我们是时候给出色的数学阐释者更高的位置了。我相信 Grant 绝对不是借机抬高自己，而是这的确是现在 AI 冲击下数学研究急需完成的转变。

Q：围棋被 AlphaGo 冲击之后的那段历史，能给数学什么样的参考？

某种意义上，人类数学家的现状就像极了当年被 AlphaGo 打服的围棋棋手。2017 年，世界排名第一的柯洁 $0:3$ 输给了 AlphaGo，第三局中途他一度离席，在镜头前忍不住落泪，他说 AlphaGo 就像围棋之神，和 AI 下棋是一种密不透风的绝望。数学家的困境和当年的围棋棋手非常类似，甚至更糟糕：因为虽然人跑不过高铁，但人的短跑比赛还有价值；围棋棋手下不过 AI，彼此 PVP 也还有看头，但数学家不能表演解题 PK 吧。当人类智力巅峰的尊严被粉碎之后，接下来该何去何从呢？围棋后来的路给了我们一些很有价值的参考，那就是职业棋手开始用 AI 去训练。一项发表在 PNAS 的研究分析了 1950 年到 2021 年职业比赛里的 580 多万步棋，发现超人类的 AI 出现之后，人类棋手的决策质量其实显著提高了，新颖的下法也变多了：2018 年有 88% 的对局出现了历史上从来没见过的招法组合，而在 2015 年这个比例只有 63%。围棋在被 AI 冲击之后的历史，很大程度上可能就是数学值得借鉴的未来，那就是理解 AI 的棋路，并且内化到人类自身。

2016 年 AlphaGo 和李世石的第二局，第 37 手下在了五路上的一个尖冲，现场解说一度以为是失误，AlphaGo 自己估计人类棋手下出这一步的概率大约只有 $1/10000$，而后来大家才明白，这手改变了整盘棋的格局。从那以后，"AI 为什么这么下"成为了职业棋手和解说员最重要的工作之一，像开局早早点三三这种曾经被视为俗手的下法，就是这样被重新理解、接纳甚至推崇的。而第四局李世石那一手被称为"神之一手"的第 78 手则提醒我们，再强的 AI 也有盲区，只有真正看懂它的人才能找到它的盲区。如果你想象一下这些棋手说，AI 下的棋没有灵魂，AI 不能理解围棋当中的这些情感和这些绝妙的事情，所以我们不去学 AI，那这些棋手会错过多少东西呢？魏志威老师打过一个比方：数学研究就像大航海，以前我们只有小木船，现在有了一个大的蒸汽轮船，我们可以去更远的地方；人脑独自思考和借助 AI 思考，就像是游泳和坐远洋巨轮的区别。可是巨轮开到了新大陆，我们仍然需要专业的人下船去看看这片土地上有什么，或者说 AI 这一步神之一手的妙招到底妙在哪里、为什么成立、里面有什么意想不到的启发、能不能连回到我们已知的世界、改变我们对已有所有这些学科的认知。这份工作你会发现还是只能由真正理解数学的人来做。

所以数学家不会消失，相反他们会变得更重要。一个从来没有接受过系统数学训练的人，你哪怕用 AI 问出了 $NP \neq P$ 的证明，对他来说也毫无意义和价值，因为这几百页论文全是他根本不能理解的东西，他也无法给同行讲明白这套证明的妙处到底在哪里，他所有的 credit 只是输了这段提示词，同时运气很好，遇上了一个能找到答案的随机种子。在这个角度上，我们当然还需要学习所有已有的数学知识，只不过这个心态真的要转变：它的意义不再是以前我们那种习惯的，站在人类智力的巅峰去探索最前沿。我觉得这种心态的转变可能需要很长的时间。

Q：所以回到开头那个问题，现在还要不要学数学？如果要，方法上该怎么变？

我的回答是：当然还是值得学的，但是方法可能要改变。Grant Sanderson 有一个比方：机器举铁肯定能比你举得更重，但你依然值得去健身房，因为肌肉长在你自己身上。数学训练是给你的，是寻找一种抽象的分析结构、拆解问题的能力，而这些能力会跟着你去到很多其他地方，任何一个领域需要严密思考，数学的训练就有价值。北大的袁新意老师也说，中小学的那些题做出来本身没有价值，但之所以还要做，就是因为那是一个自我修炼的过程，他甚至建议低年级博士生的第一篇论文还是要用古法亲手做一遍。如果目标只是比别人更快地解出更难的题，那这条赛道确实已经被 AI 占满，所以更值得练的是前面说的那几样：真正地理解一个东西为什么成立，问出更好的问题，对什么是重要的、什么是美的、这种框架和理论有自己的品位，把数学和真实的世界联系起来，以及用好 AI。袁老师讲他在清华上课的经历，他直接告诉学生，作业题你们都可以让 AI 生成答案，但那样你们什么也得不到；把 AI 当成助手，自己主动思考，不懂的地方去问它，学习效率会高很多，而且理解也会深刻很多，这才是用 AI 的方法。

所以说句实话，如果你的目标是一份纯数学的教职，未来几年这条路大概率会更窄，评价体系正在剧烈地变动，而这些成本会最先落在研究生、博士后这些年轻人身上，就像我一样——我也被迫暂时放弃了博士期间一直追求的理论深度学习的职业路径，这都是没有办法的事情，时代的一粒沙落到每个人头上就是一座山。但是我觉得我们还可以继续保持热爱，同时保持理性判断，多给自己留几条路。当证明变得廉价的时候，理解和阐释就变得更加稀缺，所以我希望科普能在未来获得更多的认可和地位。当然，AI 的讲解也会越来越厉害，所以单纯讲清楚不再稀缺，而稀缺的会是一种信任感。Grant 有一个判断我很认同：教育真正的瓶颈往往在于人愿不愿意去学、能不能坚持下去，而人愿意去学一样东西，常常是因为有一个具体的、他信任的人，让他相信这件事情值得花时间。多伦多大学的 LT 描述过一个他认为不太可能、但并非完全不可能的可怕的未来：整个数学行业只会按按钮不读输出，然后 50 年之后没有人再去做数学，连机器都不做，自己也已经不懂这个领域了。那我觉得，科普能做的就是让这条路上一直有人，一直有人懂它在说些什么，而这些也是那些大而化之的外部知识科普无法做到的事情。我们这一代人也许将永远无法成为第一个登上山巅的人了，但山顶的风景还需要有人看懂，从山脚到山顶的路也还有人要画出来，留给后来的人。而这件事，我会一直做下去。漫士沉思录，学海引路不辛苦，我们下期再会。