P1P2 科学方法

物理定律的特征：物理学与数学的关系，以及科学的方法

面对听众的挑战

今晚我能看到观众席了，所以我也能从人数上判断出来——上一次我眼前只是一片黑压压的影子——今晚一定有许多在座的朋友对物理学并不十分熟悉，也有不少对数学不太精通，我毫不怀疑，其中还有一些人既不懂物理也不懂数学。这对一个要讲"物理学与数学的关系"的演讲者来说，确实构成了相当大的挑战。不过，这个挑战我并不会接受。我发表这个演讲的题目时，用的是清晰明确的语言，我没有把它包装成它并不是的东西。题目就是"物理学与数学的关系"，如果你发现在某些地方需要一点物理学或数学的基础知识，我也没办法。

数学在复杂情境中的应用

在思考数学对物理学的应用时，我们很自然地会想到：当涉及大量数字和复杂情况时，数学就会非常有用。举例来说，如果我们去看生物学，一个病毒对一个细菌的作用，如果你在显微镜下观察，那完全是非数学的、杂乱无章的抖动。病毒在这个奇形怪状的细菌上找到某个位置——每个细菌的形状都不一样——找到某个点，也许它把 DNA 推进去了，也许没有，诸如此类。然而，如果我们对数以百万计、数十亿计的细菌和病毒做实验，那么通过取平均值、处理大量数据，我们就能学到很多关于病毒的知识。我们可以利用求平均过程中涉及的数学，看看病毒是否在细菌体内发育出了新的菌株，比例是多少，由此我们可以研究遗传学、突变等等。

再举一个更简单的例子。你想象一块巨大的棋盘，用来下跳棋或者西洋跳棋。如果棋盘非常大，那么任何一步的实际操作并不是数学性的，它非常简单。如果是数学性的话，棋子要么往这边走，要么往那边走，沿着对角线走，或者到达底线变成王，然后可以往后走。换句话说，规则的表述非常简单，并不真正涉及任何数学。但是你可以想象，在一块巨大的棋盘上，有非常多的棋子，对最佳走法、好走法或坏走法的某种分析，也许可以通过一种深层的推理来完成，需要有人先离开去深入思考一番——那就变成了数学，那种抽象的推理。

再举一个例子，计算机中的开关。如果你只有一个开关，它要么是开的，要么是关的，这没什么数学可言，尽管数学家喜欢从这里开始他们的数学。但是，当所有的互连和线路都考虑进来，要弄清楚一个非常大的系统会怎样运作，那就需要数学了。

我想立刻说明一点：数学在物理学中有一个最主要的应用——当然它的应用非常广泛——那就是在讨论复杂情况中的详细现象时。给定游戏的基本规则，数学在复杂情境中有着巨大的应用。如果我只谈数学与物理的关系，我会把大部分时间花在这上面。但既然这是一个关于物理定律特征的系列讲座，我没有时间去讨论数学在物理学中用于计算复杂情况的应用。我们直接转向另一个问题——基本定律的特征。

基本定律中的数学

如果我们回到跳棋的比喻，基本定律就是棋子移动的规则。数学可以被应用于复杂的情况，以弄清楚下一步该怎么走、在复杂局面中什么是好棋。但基本定律的简单特征只需要非常少的数学。

然而，物理学中奇怪的事情是：对于基本定律，我们仍然需要数学。我举两个例子，一个其实不太需要数学，另一个则需要。

物理学中有一个叫做法拉第定律的规律，它说的是：在电解中，沉积的物质量与电流以及电流作用的时间成正比。也就是说，物质量与通过系统的电荷量成正比。这听起来很数学化，但实际上发生的事情是：通过导线的每个电子都携带一个单位的电荷。举一个具体的例子，也许沉积一个原子需要一个电子过来，那么沉积的原子数就必然与流过的电子数成正比，也就是与通过导线的电荷量成正比。所以，这个看起来具有数学形式的定律，其基础并不需要真正深刻的数学知识——只不过是一个电子对应一个原子，使它能够沉积下来。这并不深刻。这确实是数学，我不得不说"数字一"，但这不是我今晚要谈的那种数学。

牛顿引力定律的数学性

另一方面，如果我们看牛顿的万有引力定律，它有这样一些特征，我上次已经写下来了，只是为了让你们感受数学符号传达信息的速度。我们说过，力与两个物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。物体受到力的作用后，会改变速度或改变运动方向，改变的量与力成正比，与质量成反比。好了，用文字说出来也没问题，我并没有写方程。但它仍然是某种数学性的东西。我们会疑惑：这怎么能是基本定律呢？那边那颗行星是怎么做的？它看着太阳，看看有多远，然后决定用它内部的计算器算出距离平方的倒数，然后据此决定自己该移动多少？这当然不是对引力机制的解释。

所以你也许会想进一步探究，确实有各种人尝试过进一步探究。牛顿最初被质疑说：这没有任何意义，它什么也没告诉我们。他回答说：它告诉你天体是怎么运动的，这就够了。我告诉了你它怎么运动，而不是为什么。但人们往往不满足于没有机制的解释。

粒子轰击模型的尝试与失败

我想描述一种理论，它是人们发明的众多解释之一，也许你自己也想过。每隔一段时间，就会有某个学生兴冲冲地跑进来，突然解释了引力。他说：假设世界上到处都有大量粒子以极高的速度飞过我们，它们从各个方向均匀地射来，不断地穿过我们，偶尔会撞击我们，对我们进行轰击。但我们和太阳对它们来说几乎是透明的——几乎透明，但总有一些会撞上来，所以并不是完全透明的。

看看会发生什么。如果太阳在这里，地球在那里，那么如果太阳不存在，粒子就会从四面八方轰击地球，给予微小的冲量——那些少数撞上的粒子噼里啪啦地撞击——但不会使地球朝任何特定方向移动，因为从一边来的和从另一边来的、从上面来的和从下面来的，数量一样多。然而，当太阳在这里的时候，从这个方向来的粒子有一部分被太阳吸收了，因为有些粒子撞上了太阳，穿不过去。因此，从这个方向朝地球来的粒子数量，比从另一边来的要少，因为那边没有太阳阻挡。经过一番思考，你很容易看出：太阳越远，在所有粒子可能来的方向中，被挡住的粒子所占的比例就越小——也就是说，太阳的视尺寸越小，实际上与距离的平方成反比。因此，地球会受到一个朝向太阳的冲量，这个冲量与距离的平方成反比，而且是大量非常简单的操作的结果——只是一个接一个地从各个方向撞击。这样一来，数学关系的奇怪性就会大大减弱，因为基本操作比计算距离平方的倒数要简单得多。这台"机器"做了计算——这些粒子只是在那里弹跳。

唯一的麻烦是，它行不通。由于其他原因，它行不通。你编造的每一个理论都必须对照所有可能的后果来分析，看看它是否还预测了别的什么。这个理论确实预测了别的东西：如果地球在朝这个方向运动，那么从前面撞击它的粒子就会比从后面撞击它的多。就像你在雨中奔跑，雨从前面打在你脸上的比打在后脑勺的多，因为你是在迎着雨跑。所以当地球朝这个方向运动时，它是在迎着粒子跑，而逃离从后面追上来的粒子，因此从前面撞击它的粒子比从后面的多。而且只要有任何运动，就会有一个横向的力。这个横向力会使地球在轨道上减速，地球肯定不可能持续围绕太阳运转至少三四十亿年。所以，这个理论到此为止了。

你会说："这倒是个好理论，它暂时摆脱了数学。也许我能发明一个更好的。"也许你能，因为没有人知道最终答案。但直到今天，从牛顿时代起，没有人发明出另一种关于这个定律背后的数学机制的理论描述，它要么只是在用不同的方式说同样的事情，要么让数学变得更复杂，同时还不会预测出错误的现象。我的意思是，有些理论确实做到了，但就像这个模型一样，它预测了不真实的东西。所以，到今天为止，除了数学形式之外，没有引力理论的其他模型。

数学在物理定律中不可避免

如果只有这一个定律具有这种特征，那会很有趣，也有点恼人。但事实是，我们研究得越多，发现的定律越多，对自然挖掘得越深，这种"病"就越严重——我们的每一个定律都是一个纯粹的数学陈述，而且是用相当复杂和深奥的数学来表达的。牛顿引力定律是相对简单的数学，随着我们深入，数学变得越来越深奥、越来越困难。为什么会这样，我一点头绪都没有。我在这个讲座中的目的只是告诉你们这个事实。换句话说，我这个讲座的目的实际上是解释为什么我无法让你们满意——如果你们不太懂数学的话，我没办法用任何其他方式来解释自然。这个讲座的重担就在于此：告诉你们一个事实，即不可能真正诚实地迎接这个挑战——用一种让人能感受到自然定律之美的方式来解释，而听众却没有对数学的深刻理解。很遗憾，情况似乎就是如此。

数学不仅仅是语言

你也许会说："好吧，那就不解释定律了，至少告诉我定律是什么。为什么不用文字而用符号来告诉我？数学只是一种语言，我想翻译这种语言。"事实上，我可以翻译，而且凭借耐心，我想我部分地做到了。我可以再进一步，解释更多细节，比如"如果距离是两倍远，力就是四分之一"等等，可以把所有这些都转换成文字。换句话说，我会对外行很友好，他们满怀希望地坐在那里，期待你能解释些什么。不同的人因为向外行解释这些深奥主题的技巧不同而获得不同的声誉。外行然后一本又一本地寻找书，希望避开即使最好的阐述者最终也无法避免的复杂性。他读着读着，发现越来越混乱，一个复杂的陈述接着另一个，一个难以理解的东西接着另一个，所有这些东西显然彼此之间毫无关联，变得越来越晦涩。他希望也许在另一本书里会有某种解释。"那个人几乎快说清楚了，也许另一个人能说清楚。"我不认为这是可能的，因为还有另一个特征：数学不仅仅是一种语言。数学是语言加上推理，就像语言加上逻辑。数学是一种推理工具，它实际上是一大堆某个人仔细思考和推理的结果。通过数学，可以把一个陈述与另一个陈述联系起来。

例如，我可以说力是朝向太阳的。我也可以告诉你，正如我之前所说的，行星的运动方式是：如果我画一条从太阳到行星的线，然后在某个固定的时间间隔后——比如三周后——再画一条，行星扫过的面积与下一个三周扫过的面积完全相同，再下一个三周也一样，如此循环。现在，我可以仔细地向你解释这两个陈述，但我无法解释为什么它们是同一回事。所以，如果你不欣赏数学，你就无法看到：自然中大量看似极其复杂的事实，以及所有那些奇怪的定律和规则——每一个都已经仔细地向你解释过了——实际上是紧密交织在一起的，逻辑允许你从一个推出另一个。

等面积定律的几何证明

也许难以置信，我能证明如果力朝向太阳，那么相等的时间就会扫出相等的面积。如果我可以的话，让我来展示一个证明，让你们看到这两件事确实是等价的，这样你们就能体会到，仅仅陈述两个定律是不够的——两个定律是相互关联的，仅凭推理就能从一个推出另一个。数学是有组织的推理，知道如何做这件事是好的，这样才能欣赏陈述之间关系的美。

好，我来证明：如果力朝向太阳，那么相等的面积在相等的时间内被扫出。我们开始。这是太阳，我们想象在某个时刻，比如行星在这里，它以某种方式运动，比方说一秒后——或者一个小时，随便选什么时间——比方说一秒后，它移动到了位置二。如果太阳不对它施加任何力，那么根据伽利略的原理，它会继续沿直线运动。所以在下一个相同的时间间隔内，下一个一秒，它将移动完全相同的距离，沿同一条直线，到达位置三——如果没有力的话。

好了，首先我们要证明，如果没有力，相等的面积在相等的时间内被扫出。我提醒你们，三角形的面积是底乘以高的一半，高是到底边的垂直距离。如果三角形是歪的——有个名字，我忘了——钝角三角形——那么高就是这个垂直高度。

现在让我们画到这两个点的连线。在没有力的情况下，问题是：这两个面积相等吗？考虑由太阳和点一、点二构成的三角形，就是这个。它的面积是这个底边乘以这个高。那么另一个三角形呢？就是从二到三的运动三角形，是这个底边乘以同一个高。两个三角形有相同的高，而且正如我所指出的，有相同的底边，因此有相同的面积。到目前为止很好：如果太阳没有施加力，相等的面积在相等的时间内被扫出。

但太阳确实施加了力。在从一到二到三的这个间隔中，太阳在拉扯，改变运动方向——这个方向、那个方向。为了对此做一个好的近似，我们取中间位置或平均位置，说在整个间隔中，全部效果是使运动在朝向太阳的方向上改变了某个量。这意味着，虽然粒子本来在朝这个方向运动，本来会在下一秒朝这个方向运动，但由于太阳的影响，运动被改变了一个量，这个改变朝着这个方向——平行于从位置二到太阳的连线。这些线是平行的。新的运动是我本来要做的运动和太阳作用引起的变化的合成。所以它实际上并没有到达位置三，而是到了位置四。

现在我们要比较三角形二 - 四-太阳和二 - 三-太阳。我要证明它们是相等的，因为它们有相同的底边。这两个三角形——没有力的那个和有力的那个——有相同的底边。它们有相同的高吗？当然有，因为它们被包含在平行线之间。所以它们有相同的高，因此我最后画的那个三角形的面积和我画的第二个三角形——二、三、太阳——的面积相同，而我之前已经证明了那个面积等于第一个。所以在行星的实际轨道运动中，第一秒和第二秒扫过的面积是相等的。通过推理，我们可以看到力朝向太阳这个事实与面积相等之间的联系。

不巧妙吗？不，这是我从牛顿那里借来的，直接出自《自然哲学的数学原理》，图都是一样的，只是字母不同，因为他用拉丁文写，这些是阿拉伯数字。

从几何推理到解析方法

顺便说一下，牛顿把他的证明做成像这样的几何形式，他书中的所有证明都是这种几何类型的。今天我们不再使用那种推理方式了，我们使用一种带有符号的解析推理。这种几何推理需要一种灵巧性——要画出正确的三角形，注意到面积，想出怎么做，你必须聪明。但分析方法已经有了改进，所以你可以更"笨"一些，写得快得多，效率高得多。我只想展示一下用更现代的数学符号写出来是什么样子，你只需要写很多符号就行了。

首先，我们想讨论面积变化的速度，我们用 dA/dt 来表示。面积变化是因为——当半径在扫动时——是速度在垂直于半径方向上的分量乘以半径，告诉我们面积变化的速度。这就是径向距离乘以速度（即距离的变化率）的垂直分量。现在的问题是，面积变化率本身是否变化。原则上它不应该变化，面积的变化率不应该变化。所以我们对它再求一次导数。那些点不是关于把点放在正确位置的小技巧——那只是你必须学的一些规则，是人们发现的一系列非常强大的规则。这个表达式说的是：速度在垂直于速度方向上的分量——没有这样的分量，因为速度在自身方向上——而加速度，即速度的导数，等于力除以质量。所以这个表达式说的是：面积变化率的变化率等于力在垂直于半径方向上的分量。但如果力在半径方向上——正如牛顿所说——那么垂直于半径方向就没有力，这意味着面积变化率不变化。

我只是想展示不同符号系统的区别。牛顿或多或少知道怎么做这些，用的是稍微不同的符号，但他把所有东西都写成几何形式，因为他试图让人们能读他的论文。他发明了微积分，也就是这种数学，这是数学与物理关系的一个很好的例证。当物理学中的问题变得困难时，我们常常可以求助于数学家，他们已经研究了这样的问题，已经对这样的项目进行了推理，为我们准备好了一条推理的路线可以遵循。另一方面，他们也许没有准备好，那样我们就必须发明自己的推理路线，然后它会传回数学家那里。因为任何对任何事物进行仔细推理的人，都是在为"当你思考某件事时会发生什么"的知识做出贡献。如果你把它抽象出来，送到数学系，他们会把它放进书里，作为一个数学分支。

数学作为连接各种陈述的工具

数学是从一组陈述走向另一组陈述的方式。它在物理学中显然是有用的，因为我们有所有这些不同的谈论事物的方式，它允许我们推导结果、分析情况、以不同方式重新表述定律，并把各种陈述联系起来。事实上，一个物理学家所知道的总量其实很少，他只需要记住从一个地方到另一个地方的规则，他就能做到。换句话说，关于等面积、力在半径方向等等的各种陈述，都通过推理相互联系着。

巴比伦传统与希腊传统

现在出现了一个有趣的问题：是否有某种模式？是否有一个起点——基本原理——可以推导出整个体系？或者说，自然中是否有某种特定的模式或秩序，使我们能理解哪些是更基本的陈述，哪些是更派生的陈述？

有两种看待数学的方式，为了这个讲座的目的，我称之为"巴比伦传统"和"希腊传统"。在巴比伦的学校里，学生学习数学的方式是做大量的例子，直到他领悟了一般规则。大量的几何知识也被掌握了——圆的很多性质、毕达哥拉斯定理、立方体和三角形的面积公式等等——也有一些推理可以从一个东西到另一个东西。数值量的表格也是可用的，所以你可以解复杂的方程。一切都为计算准备好了。但欧几里得发现了一种方法，可以把所有几何定理从一组特别简单的公理中排列出来，你们肯定都熟悉那种几何。

巴比伦的态度是——我所说的"巴比伦数学"的方式是——你知道所有这些不同的定理以及它们之间的许多联系，但你从未真正意识到它们都可以从一堆公理中推导出来。现代数学——最现代的数学——集中于公理和在非常明确的框架内的证明，有关于什么可以接受为公理、什么不可以接受的惯例。例如，在几何中，取欧几里得公理的某种修正版本使之更完善，然后展示系统的推导。例如，毕达哥拉斯定理——三角形各边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积——不应该是一条公理。另一方面，从笛卡尔的几何观点来看，毕达哥拉斯定理就是一条公理。所以我们要担心的第一件事是：即使在数学中，你也可以从不同的地方开始，因为所有这些不同的定理都通过推理相互联系着。

没有真正的方法说"这些在最底下是基础，这些通过逻辑连接在上面"，因为如果你被告知的是这一个而不是那一个，你也可以把逻辑反过来推。这就像一座有很多构件的桥，它是过度连接的——如果有几块掉出来了，你可以用另一种方式重新连接。今天的数学传统是从某些特定的公理开始，这些公理由某种惯例选定，然后从那里构建起整个结构。巴比伦的方式——我说的并不真的是巴比伦的——是说：我碰巧知道这个，碰巧知道那个，也许还知道那个，我从那里开始推导出一切。明天我忘了这个是对的，但我记得那个是对的，然后我重新构建。我从来不确定该从哪里开始、在哪里结束。我只是始终记住足够多的东西，这样当记忆消退、碎片掉落时，我就把东西重新拼凑起来。每一天都是如此。

从公理出发的方法在获取定理方面并不是高效的。在几何中解决问题时，如果你每次都要回到公理，效率就不高。但如果你记得几何中的几样东西，你总是可以到达别的地方，用另一种方式效率要高得多。最好的公理与最有效的周游方式从来不完全相同，事实上从来都不相同。

在物理学中，我们需要巴比伦方法，而不是欧几里得或希腊方法。让我说说为什么。欧几里得方法的问题是要使公理变得更有趣或更重要。但我们的问题是：在引力的情况下，说力朝向太阳是更好的公理，还是说相等的面积在相等的时间内被扫出是更好的公理？从一个角度看，力更好，因为如果我陈述力是什么，我就可以处理一个有许多粒子的系统，其中轨道不再是椭圆——因为粒子之间的相互拉扯——等面积定理就失效了。因此我倾向于把力定律作为公理而不是另一个。

角动量守恒

另一方面，等面积原理可以被推广。当有大量粒子的系统时，它变成另一个定理。我本来准备解释的，但我看到时间快不够了。不过有一个陈述比等面积等时间更一般一些。让我说说它是什么。说起来相当复杂，也不像等面积那么漂亮，但它显然是等面积原理的"后代"。

如果你看着所有这些粒子——木星、土星、太阳和所有这些东西——围绕许多恒星运转或者不管它们是什么，全部相互作用的。从远处看，投影在一个平面上，就像这张图片一样。然后一切都在运动，这个朝这个方向动，那个朝那个方向动，等等。然后取任何一个点——比方说这个点——然后计算每一个粒子扫出多少面积，到每个粒子的半径扫出多少面积，然后把它们全部加起来。但是等等——那些质量更重的粒子贡献更大。如果这个的质量是那个的两倍，那么这个面积就算两倍多。

这就是在"扫动"，所有这些的总和在时间中不变化。这就是另一个定律的显然推广。顺便说一下，这个总和叫做角动量，这叫做角动量守恒定律。"守恒"只是意味着它不变化。

这个定律的一个结果——只是为了展示它有什么用——想象许多恒星落在一起形成一个星云、一个星系。当它们靠近时，如果它们原来在很远的地方，运动很慢，所以只有很少的面积在很长的臂上被产生——到中心的距离很长。然后如果这些东西落进来，到中心的距离变短了。如果所有恒星现在都靠近了，这些半径变小了，为了扫出相同的面积，它们必须运动得更快。所以当这些东西落进来时，它们会旋转起来，这样我们就能大致理解旋涡星云的定性形状。也可以用完全相同的方式理解滑冰运动员的旋转——当你开始时腿伸出去，转得慢，当你把腿收进来，转得更快。因为当腿伸出去时，它在缓慢运动中每秒贡献一定面积，然后当它收进来时，为了获得相同的面积，你必须转得更快。但我没有为滑冰运动员证明这一点——滑冰运动员用的是肌肉力量，引力是不同的力——但这对滑冰运动员也是对的。

定律超越其推导

我们现在有一个问题：我们常常可以从物理学的一部分——比如万有引力定律——推导出一个原理，而这个原理被证明比推导本身要广泛得多。这在数学中不会发生——定理不会出现在它们不该出现的地方。换句话说，如果我们说物理学的公设是万有引力定律，我们可以推导出角动量守恒，但只限于引力。然而我们通过实验发现，角动量守恒是一个范围大得多的事情。牛顿有其他公设，从中可以得到更一般的角动量守恒定律，但牛顿定律是错的——没有力，那都是一堆胡说，粒子没有轨道，等等。然而，这个关于面积的原理的精确推广——角动量守恒——在量子力学中的原子运动中是对的，据我们今天所知，它仍然是精确的。

所以我们拥有这些宽泛的原理，它们横扫所有不同的定律。如果一个人太认真地对待他的推导，觉得这个原理只在那个定律有效时才有效，他就无法理解物理学不同分支之间的相互联系。也许有一天，当物理学完备了，也许通过这种论证，我们知道了所有的定律，然后我们可以从某些公理开始——毫无疑问，会有人想出一种特定的方式来做这件事，然后所有的推导都会被完成。但在我们还不知道所有定律的时候，我们可以用一些定律来猜测超越证明范围的定理。

所以，为了理解物理学，一个人必须始终在头脑中保持所有各种命题及其相互关系的精妙平衡，因为定律常常超越其推导的范围。只有当所有定律都被知道之后，这才不再重要。

引力定律的三种等价表述

数学与物理之间另一个有趣的事情是——一件非常奇怪的事情——通过数学论证，你可以证明你可以从许多不同的看似不同的起点出发，得到同样的结果。如果你有公理，这很清楚，你可以用一些定理。但实际上，物理定律是如此精妙地构造的，它们的陈述具有如此定性上不同的特征，这非常有趣。

如果你们允许的话，我要用三种不同的方式来陈述万有引力定律，它们结果是完全等价的，但听起来完全不同。

第一种是物体之间的力，如前所述。每个物体感受到作用在它上面的力，然后加速或改变运动，以每秒某个量变化。这就是我所说的通常方式，我称之为牛顿定律。这是一种描述方式。

这种定律有一个完全不同的特点：力依赖于有限距离之外的某个东西。它有一种我们称为"非定域"的性质——这个物体上的力取决于那边那个物体在哪里。你也许不喜欢超距作用的想法，但它就是能知道那边发生了什么。

然后还有另一种陈述定律的方式，非常奇怪，叫做"场"的表述方式。这很难解释，但我只想给你们一个粗略的概念。它说的是一件完全不同的事情：空间中每一点都有一个数。我知道它是一个数，不是一个机制——这就是整个物理学的麻烦，它必须是数学的。空间中每一点都有一个数，这里一个数，那里一个数，以此类推。当你从一个地方走到另一个地方时，这个数会变化。如果一个物体被放在空间中的某一点，作用在它上面的力指向那个数——它的名字叫"势"——变化最快的方向，力的大小与势在你移动时的变化率成正比。这是第一个陈述。但这还不够，因为我必须告诉你如何确定势如何变化。我可以说势随每个物体的距离的倒数变化，但那又回到了超距作用的想法。然而你可以用另一种方式陈述这个定律：你不需要知道任何小区域之外发生的事情。如果你想知道这里某一点的势是什么，你告诉我以那个点为球心的任何球面——不管多小——上的势是什么就行了。你不需要看外面，你只需要告诉我邻域内发生了什么，以及球内有多少质量。规则是这样的：球心处的势等于小球面上的势的平均值，减去那个常数除以球的半径的两倍。假设球的半径叫做 a，然后乘以球内的质量——如果球足够小的话。

现在你看，这个定律和另一个不同，因为它只告诉你一个点发生的事情与非常近处发生的事情的关系。牛顿定律告诉你某一时刻发生的事情取决于更远处的事情——它从一个瞬间到下一个瞬间给出如何计算，但在空间中它从一个地方跳到另一个地方。但这个东西在时间上是定域的，在空间上也是定域的，因为它只取决于邻域。这是另一种表述方式。

现在还有另一种完全不同的方式。你看到这些不同表述中哲学和定性思想的差异。你不喜欢超距作用？你可以不用它。现在我要给你们看一种哲学上完全相反的方式，其中完全不讨论事物如何从一个地方传到另一个地方，整个事情是一个总体性的陈述。

当你周围有其他粒子，你想知道这个粒子如何从一个地方运动到另一个地方时，你这样做：你计算一个量。你发明一个可能的运动，从给定的一个地方到另一个你感兴趣的地方，在给定的时间内——比如它想在一小时内从这里到那里，你想知道它走什么路线能在一小时内到达。所以你计算一个量，猜测一条曲线。如果你尝试这条曲线，你计算某个数；如果你尝试另一条路线，你当然会得到不同的数。但有一条路线给出那个量的最小可能值，那就是粒子实际走的路线。

现在我们在用关于整条曲线的某种陈述来描述实际运动——椭圆。我们失去了因果性的概念：粒子在这里，它感受到拉力，它移动到这里。取而代之的是，它以某种宏伟的方式"嗅"遍了所有可能的曲线，所有可能的路线，然后决定走哪一条。

等价表述的深远意义

这是一个例子，说明描述自然的美丽方式有如此广泛的范围。当人们说自然必须有因果性——好吧，你可以用那种方式谈论。自然必须用最小原理来表述——好吧，你也可以用这种方式谈论。自然必须有定域场——你也可以那样做。问题是：哪一个是正确的？

如果这些不同的选择在数学上不完全等价，如果某些选择会有不同于其他的后果，那就很好，因为我们只需要做实验来找出自然实际上选择了哪种方式。大多数人是带着哲学观点来的，他们喜欢这个不喜欢那个。但我们从大量经验中学到，所有关于自然将如何运作的哲学直觉都是失败的。从来就不管用。一个人只需要把所有可能性都算出来，尝试所有选择。

在我谈的这个特定情况下，这些理论是完全等价的。三种表述——牛顿定律、定域场方法和最小作用量原理——的数学后果在每一种情况下都完全相同。那我们怎么办？你在所有书中都会读到：因此我们无法在科学上决定哪个是对的。这是对的——它们在科学上是等价的，不可能做出决定，因为没有实验或方法可以区分它们，如果所有后果都相同的话。

但在心理上，它们非常不同，有两个原因。第一，在哲学上，你喜欢或不喜欢它们，训练是唯一能克服这种"病"的方法。第二，在心理上它们不同，因为当你去猜测新定律时，它们完全不等价。只要物理学是不完备的，我们还在试图发现和理解其他定律，那么不同的可能表述就会提供线索，暗示在其他情况下可能会发生什么。它们在我们心理上变得不等价，因为它们暗示我们对更广泛情况下定律可能是什么样子的猜测。

爱因斯坦的启示

例如，爱因斯坦注意到——他说他意识到信号不能以超过光速的速度传播。对于电，他猜测这是一个普遍原理——同样的猜测游戏，就像把角动量从你证明它的那个情形推广到整个宇宙一样。他猜测它对所有东西都是对的，他猜测它对引力也是对的。如果信号不能比光速更快，那么瞬时描述力的方法就变得非常糟糕。在爱因斯坦对引力的推广中，这种描述物理学的方法是无望地不充分的，极其复杂的，而定域场方法和最小原理方法则是简洁而优美的。所以我们还没有在那两者之间做出决定。

事实上，量子力学说，就我陈述它们的方式而言，两者都不完全正确，但最小原理的存在被证明是一个后果——在微观尺度上粒子遵循量子力学。事实是，目前理解的最佳定律实际上是两者的结合，我们使用最小原理加上定域的力、定域的定律。今天的信念是，物理定律必须具有定域特征，同时也具有最小原理。但我们并不真正知道。

为什么我们必须保留所有表述

所以情况是这样的：如果你有一个只是部分精确的结构，某些东西将会失败。如果你用恰好正确的公理来写它，也许只有一个公理失败，其余的保留，你只需要改变一小点。但如果你用另一组公理来写，它们全部崩溃，因为它们都依赖于那个失败的东西。但我们无法事先判断哪种写法最好，除非凭借某种直觉和猜测，直到我们发现新的情况。所以我们必须始终把所有看问题的替代方式保存在头脑中。物理学家做的是巴比伦数学，很少注意从固定公理出发的精确推理。

自然的一个惊人特征就是这种解释方案的多样性。事实证明，这之所以可能，只是因为定律是如此的独特和精妙。例如，定律是平方反比这一点，使得它可以变成定域的——如果是立方反比就做不到。方程的另一端——力与速度的变化率相关——这个结果允许最小原理这种写法。因为如果力与位置的变化率而不是速度的变化率成正比，你就不能那样写。如果你试图哪怕稍微修改定律，你就发现只能用少得多的方式来写它们。我总是觉得这很神秘，我不理解为什么物理定律似乎总是可以用如此多的方式来表达。它们似乎能同时穿过好几个"门"。

数学家与物理学家的不同

现在我想对数学与物理的关系做一些更一般的评论。第一点是，数学家只处理推理的结构，他们并不真正关心他们在谈论什么。他们甚至不需要知道自己在说什么，或者用他们自己的话说，他们也不需要知道他们说的是否正确。让我解释一下：如果你陈述公理，你说"某个如此如此的东西和某个如此如此的东西"，那么逻辑就可以在不理解这些词的含义的情况下进行。如果公理的陈述是真实的——我的意思是仔细表述的、足够完整的——那么做推理的人不需要对这些词的含义有任何知识，你就能用同样的语言推导出新的结论。如果我在一条公理中用了"三角形"这个词，结论中就会有关于三角形的某些陈述，而做推理的人可能根本不知道三角形是什么。但然后我可以把他的东西读回来，说："哦，三角形，就是那个有三条边的东西。"然后我就知道了这个新的事实。换句话说，数学家准备了抽象的推理，只要你有关于真实世界的公理，就可以使用。

但物理学家赋予所有短语以意义。这是一件非常重要的事情，很多从数学转来学物理的人并不欣赏这一点：物理学不是数学，数学也不是物理学。一个帮助另一个，但你必须理解这些词与真实世界的联系。在最后，你必须把你算出来的东西翻译成英语、翻译成世界、翻译成你将要用来做实验的铜块和玻璃，以发现后果是否真实。这是一个问题，而这个问题根本不是数学的问题。

物理学家的特殊需求

我已经提到了另一个关系——当然很明显，数学推理的发展对物理学家有巨大的力量和用处。另一方面，物理学家的推理有时对数学家也有用。数学家也喜欢让他们的推理尽可能一般化。如果你说"我有一个三维空间，普通空间，我想谈论普通空间"——你知道你在里面，你测量距离，需要三个数来告诉你某样东西在哪里：宽、长、高，三维空间——你开始问他们定理，然后他们说："听着，如果你有一个 n 维空间，那么这些定理是这样的。"好吧，但我只想要三维的情况。"那就代入 n 等于三。"然后你会发现，很多复杂的定理在特殊情况下要简单得多。

物理学家总是对特殊情况感兴趣，他从来不对一般情况感兴趣。他在谈论某个具体的东西，他不是在抽象地谈论任何一般的东西。他知道他在谈论什么。他想讨论引力定律，他不要任意力的情况，他要引力定律。所以需要一定量的简化，因为数学家为广泛范围的问题准备了这些东西，这非常有用。后来总是那个可怜的物理学家回来说："对不起，你本来要告诉我四维空间的事情的时候……"

物理直觉与数学严格性

另一个有趣的事情是：当你知道你在谈论什么——这些是力，这些是质量，这是惯性，等等——你可以使用大量的常识，一种坐在裤子上的对世界的感觉。你见过各种各样的事情，你或多或少知道现象会怎样表现。而可怜的数学家把它翻译成方程，那些符号对他来说没有任何意义，他唯一的指南就是精确的数学严格性和论证中的仔细。而物理学家或多或少知道答案大概会怎样，可以猜出一半，然后相当快地继续推进。数学的严格精确性在物理学中并不是非常有用，现代数学中关注公理的态度也不是。数学家可以做他们想做的事。一个人不应该批评他们，因为他们不是物理学的奴隶。不必仅仅因为这对你们有用，他们就必须那样做。他们可以做他们想做的事，那是他们自己的工作。如果你想要别的东西，那你自己去算。

猜测新定律

下一个问题是：当我们试图获得新定律时，我们是否应该使用直觉的"坐在裤子上的感觉"和哲学原则？我不喜欢最小原理，或者我喜欢最小原理；我不喜欢超距作用，或者我喜欢超距作用。问题是模型在多大程度上有帮助。这是一件非常有趣的事情：模型常常有帮助，大多数物理教师试图教学生如何使用这些模型，获得对事物如何运作的良好物理感觉。但最伟大的发现总是证明，抽象远离模型才是对的。模型从来没有任何好处。麦克斯韦对电动力学的发现最初是用大量想象中的轮子和惰轮以及空间中的一切其他东西做出来的。如果你去掉了空间中所有的惰轮和其他一切，那个东西就好了。狄拉克发现了量子力学的正确定律——对于相对论量子力学——只是通过猜方程。猜方程的方法似乎是猜测新定律的一种相当有效的方式。这再次表明数学是表达自然的深刻方式，而试图用哲学原则或"坐在裤子上的机械感觉"来表达自然，并不是一种有效的方式。

我必须说，这是可能的，而且我知道我经常做出这样的假设：物理学最终将不需要数学陈述，机制最终会被揭示——就像其他偏见一样，只是一种偏见。总是让我困扰的是，尽管有所有这些定域性的讨论，在无论多么小的空间区域和无论多么小的时间区域内，根据我们今天理解的定律，发生的事情需要一台计算机进行无穷多步逻辑运算才能弄清楚。那么，在那个微小的空间里，所有那些怎么可能在发生？为什么需要无穷多的逻辑才能弄清楚一个微小的时空点会做什么？所以我经常做出这样的假设：定律最终会像跳棋一样简单，所有的复杂性都来自规模。但这与其他人做出的其他猜测具有相同的性质——我喜欢它，你不喜欢它。对这件事不要太有偏见是好的。

总结：大自然的数学语言

总结一下，我会引用金斯的话，他说："伟大的建筑师似乎是一位数学家。"对于不懂数学的人来说，要真正传达自然最深层的美，确实非常困难。C.P.斯诺谈到了两种文化。我真的认为那两种文化是：拥有这种体验的人和从未拥有这种体验的人——理解数学到足以欣赏自然之美的人，和没有达到这个程度的人。

很遗憾，它必须是数学的，而且对某些人来说数学是困难的。据说——我不知道是不是真的——当一位国王试图跟欧几里得学几何学时，他抱怨说太难了，欧几里得说："几何学没有皇家大道。"没有皇家大道。这不是我们的错。我们作为物理学家，不能把这个东西转换成任何其他语言。如果你想讨论自然，想了解自然，想欣赏自然，就必须学会她所说的语言。她只以一种形式提供她的信息。我们不会如此不谦虚地要求她改变，然后我们才肯关注。

在我看来，所有的智识论证——无论你做出怎样的论证——都不会以任何方式，或者以非常非常少的方式，向聋人的耳朵传达音乐体验真正是什么。世界上所有的智识论证都不会说服另一种文化的人——那些哲学家试图通过定性地告诉你来教你，我试图向你们描述——这传达不了，因为这是不可能的。我们是在对聋人的耳朵说话。也许正是因为视野的局限，才使得这样的人能够想象宇宙兴趣的中心是人。谢谢你们。

科学方法：我们如何寻找新定律

现在我要讨论我们如何寻找新定律。一般来说，我们通过以下过程来寻找新定律：首先，我们猜一个。然后——别笑，这是真的——我们计算这个猜测的后果，看看如果这个我们猜的定律是对的，它会意味着什么。然后我们把计算结果与自然比较，或者说与实验或经验比较，直接与观察比较，看看它是否有效。如果它与实验不符，那就是错的。这个简单的陈述就是科学的关键。不管你的猜测有多美，不管你有多聪明，不管是谁做出的猜测，不管他叫什么名字——如果它与实验不符，那就是错的。就这么简单。

猜测是科学的

因此，做出猜测并不是不科学的，尽管许多不在科学领域的人认为是这样。例如，几年前我和一个外行讨论飞碟——因为我在科学上对飞行物了如指掌——所以我说："我不认为有飞碟。"我的对手说："飞碟不可能存在吗？你能证明它是不可能的吗？""不，我不能证明它是不可能的，只是非常不可能。"他说："如果你不能证明它是不可能的，那你就非常不科学。你怎么能说它不太可能呢？"好吧，这就是科学的方式。科学的做法是说什么更可能、什么不太可能，而不是一直在证明可能和不可能。

为了界定我的意思，我最终对他说："听着，我的意思是，根据我对周围世界的了解，我认为飞碟的报告更可能是地球上已知的非理性特征的结果，而不是来自外太空的未知的理性努力的结果。只是更可能而已。"这就是一个好的猜测，我们总是试图猜出最可能的解释，同时在脑子里保留一个想法：如果它不行，我们就必须讨论其他可能性。

超导、超感官知觉与占星术

例如，曾经有一段时间有一个叫做超导的现象——现在仍然有这个现象——就是金属在低温下没有电阻地导电。起初并不明显这是已知定律的结果，是这些粒子的结果。但事实证明，它已经被足够仔细地思考过了，事实上被确定为已知定律的结果。还有其他现象，比如超感官知觉，不能用已知的物理学知识来解释。有趣的是，那个现象并没有被很好地确立，我们不能保证它存在。如果它确实能被证明存在，那当然会证明物理学是不完备的，因此它对物理学家来说极其有趣——不管它是对是错。许多许多实验表明它不起作用。

占星术的影响也是如此。如果星星真的能影响某天是否适合去看牙医——在美国我们有那种占星术——那物理理论就是错的，因为从这些东西中可以理解的基本原理中，没有任何机制能使它成立。这就是科学家对那些想法持有一些怀疑态度的原因。

理论可以被证伪但永远不能被证实

当然，你们看到，用这种方法我们可以推翻任何确定的理论。你有一个确定的理论——一个真正的猜测，从中你可以明确地计算后果，可以与实验比较。原则上我们可以摆脱任何理论，我们总是可以证明任何确定的理论是错的。但请注意，我们永远不能证明它是对的。假设你发明了一个好的猜测，计算了后果，发现你计算的每一个后果都与实验一致。那这个理论是对的吗？不，它只是没有被证明是错的。因为在未来，可能有更广泛的实验范围，你可以计算更广泛的后果，然后你可能发现它是错的。这就是为什么像牛顿行星运动定律这样的定律能持续这么长时间。他猜出了万有引力定律，计算了太阳系的各种后果，与实验比较，过了好几百年，水星运动的微小偏差才被发现。在那么长的时间里，这个理论一直没有被证明是错的，可以暂时被认为是对的。但它永远不能被证明是对的，因为明天的实验可能会成功地证明你认为是对的东西是错的。所以我们永远不能确定我们是对的，我们只能确定我们是错的。然而，我们能持续这么久是相当了不起的。我有些想法为什么能持续这么久。

模糊理论不可证伪

我还必须向你们指出，你不能证明一个模糊的理论是错的。如果你做出的猜测表达得很差、相当模糊，你用来计算后果的方法也相当模糊——你不确定——你说"我认为一切都是因为格格巫，格格巫做这个做那个，所以我大致可以解释这是怎么运作的"——那么你就会看到那个理论是好的，因为它不能被证明是错的。如果计算后果的过程是不确定的，那么凭借一点技巧，任何实验结果都可以看起来像是预期的后果。

你们可能在其他领域也熟悉这种情况。例如，一个人恨他的母亲，原因当然是她在他小时候没有足够地抚摸他或爱他。实际上如果你去调查，你会发现她确实非常爱他，一切都很好。那么就是因为她在他小时候过度溺爱他。所以通过有一个模糊的理论，你可以得到任何一种结果。

这个问题的解决方法是：如果有可能事先准确地说明多少爱是不够的、多少爱是过度溺爱的，那么就会有一个完全合理的理论，你可以对它进行检验。通常当有人指出这一点时，他们会说："哦，你是在处理心理学的事情，那些东西不能那么精确定义。"是的，但那样你就不能声称知道任何关于它的事情。

猜测不是随机的工作

因为我是理论物理学家，我更乐于讨论问题的这一端：如何进行猜测？正如我之前说的，猜测来自哪里完全不重要，重要的是它应该与实验一致，并且应该尽可能明确。但你会说："那很简单，我们设置一台机器，一台伟大的计算机，里面有一个随机轮子，产生一系列猜测，每次它猜一个关于自然如何运作的假设，立即计算后果，与另一端的实验结果列表进行比较。换句话说，猜测是笨人的工作。"实际上恰恰相反，让我试着解释为什么。

保险箱的比喻

第一个问题是如何开始。你想开始，我要从所有已知原理开始。但所有已知原理彼此之间是不一致的，所以必须去掉一些东西。我们收到很多信，总是有人写信来坚持认为我们应该在我们的猜测中打洞。你看，你打一个洞是为了给新的猜测腾出空间。有人对你说："你们这些人总是说空间是连续的，但你怎么知道当你到达足够小的尺度时，真的有足够多的点？也许它只是一堆由小距离分隔的点。"或者他们说："你知道那些你告诉我的量子力学振幅，它们太复杂太荒谬了，你怎么知道它们是对的？也许它们不对。"我收到很多这样的信。

但我必须说，这样的评论是完全显而易见的，对于任何在这个问题上工作的人来说都是完全清楚的，指出这些没有任何好处。问题不是什么东西可能是错的，而是什么可以精确地替代它。如果你说了任何精确的东西——例如，在连续空间的情况下，假设精确的命题是空间实际上由一系列点组成，点之间的空间没有任何意义，而且这些点排列在一个立方阵列中——我们可以立即证明那是错的，那行不通。你看，问题不是去改变或说某样东西可能是错的，而是用某样东西来替代它。那并不那么容易。一旦任何真正明确的想法被替代进去，几乎立刻就会变得明显它行不通。

其次，在这些简单类型的东西上有无穷多的可能性。情况有点像这样：你坐在那里非常努力地工作，工作了很长时间试图打开一个保险箱。某个乔走过来，他不知道你在做什么，什么都不知道，只知道你在试图打开它，然后他说："嘿，你为什么不试试组合 10-20-30？"因为你很忙，你在尝试很多东西，也许你已经试过 10-20-30 了，也许你知道中间那个数已经是 32 而不是 20 了，也许你知道事实上这是一个五位数的组合。所以这些信没有任何好处。所以请不要给我寄信告诉我这个东西要怎么运作。我读它们是为了确保我还没有想到那个，但回复它们太花时间了，因为它们通常在尝试 10-20-30。