{"topic":{"id":7484,"title":"cost 计算和面的二次误差矩阵初始化问题","slug":"topic","userId":1608,"categoryId":56,"createdAt":"2023-11-22 13:35:00.247033","bumpedAt":"2023-11-25 12:53:04.876397","views":267,"postsCount":2,"highestPostNumber":2,"likeCount":0,"closed":true,"pinned":false,"pinnedGlobally":false,"pinnedAt":null,"pinnedUntil":null,"isBanner":false,"excerpt":"有两个问题： 1.文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？ 2.在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？同时，这样子去计算最佳坍缩位置是否正确： Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix4f> svd(K, Eigen:…","deletedAt":null,"isAnonymous":false,"isPrivate":false,"isMembersOnly":false,"category":{"id":56,"name":"计算机图形学","slug":"cg","color":"92278F"},"author":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null},"realAuthor":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null},"tags":[]},"posts":[{"id":17834,"postNumber":1,"raw":"有两个问题：\n1.文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？\n2.在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？\n同时，这样子去计算最佳坍缩位置是否正确：\n```\nEigen::JacobiSVD svd(K, Eigen::ComputeFullV); // 解 Kx = 0\n Vector4f x_best = svd.matrixV().col(3); // 取最后一列\n x_best.normalize(); // 归一化\n optimal_pos = x_best.segment(0,3); // 前三位就是所需坐标\n```","cooked":"

有两个问题：
\n1.文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？
\n2.在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？
\n同时，这样子去计算最佳坍缩位置是否正确：

Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix4f> svd(K, Eigen::ComputeFullV); // 解 Kx = 0\n    Vector4f x_best = svd.matrixV().col(3); // 取最后一列\n    x_best.normalize(); // 归一化\n    optimal_pos = x_best.segment(0,3); // 前三位就是所需坐标\n

\n","createdAt":"2023-11-22 13:35:00.344279","updatedAt":"2023-11-22 13:35:00.344279","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":0,"wordCount":177,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"isAnonymous":false,"user":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null,"admin":false,"moderator":false,"signatureRaw":null,"signatureCooked":null}},{"id":17996,"postNumber":2,"raw":"同学，虽然你提问的格式很工整，但就你的问题内容而言我认为你是没有认真看实验文档的，以后还请注意。\n\n> 文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？\n\n如果你看得太快了，那么产生这个问题也不奇怪。在解释 QEM 简化的近似思路时，实验文档中一直强调该算法是根据 **坍缩后的点到坍缩前网格的距离** 来评判坍缩结果好坏的。\n\n在问题 3.2 的回答中，我们明确提到该算法是用这个距离作为误差的，而给出式 3.2 之前，我们也说明了算法中使用距离的平方比有向距离更好。因此，计算单个面片误差估计值的公式就是式 3.2，即使用最优点 $\\mathbf{x}$ 和二次误差矩阵 $K$ 求距离平方：\n\n$$\n\\text{cost}=(\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{v})^2=\\mathbf{u}^T(\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T)\\mathbf{u}=\\mathbf{u}^TK_f\\mathbf{u}\n$$\n\n而根据矩阵乘法的分配率，将若干 $K_f$ 累加所得的边误差矩阵 $K$ 代入上式，结果与分别将每个 $K_f$ 代入后求和相同。所以式 3.2 同样适用于计算边坍缩误差估计值，在 3.2.2 节末尾已经说得很明确了。\n\n> 在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？\n\n这里你应该是完全理解错了计算面片 $K_f$ 的过程。文档中的原话是：“对任意的点 $\\mathbf{x}$ ，一个恒定的系数矩阵 $K_f$ 决定了 $\\mathbf{x}$ 到这个平面的距离”，因此 $K_f$ 这个矩阵只要知道面片的法向量 $\\mathbf{N}$ 就能根据式 3.1 和 3.2 求出来。\n\n你求最佳位置的代码也是不对的。首先这里 $K$ 是一个四维方阵，但你要求解的方程组中并没有四个线性无关的未知数（齐次坐标形式下，点的最后一维应当是 1），因此你应该将系数矩阵 $K$ 改写成一个三阶而非四阶的线性方程组来求解。如果像你这样直接求解四阶方程组，最后又调用 `normaliz` 将四维解向量归一化，那么最后一维一定不是 1，此时直接取前三维得到的就不是三维空间中的坐标。\n\n另外，因为矩阵 $K$ 必定是对称正定矩阵，你完全没有必要用 SVD 分解来求解方程组，随便用一种能解方程组的方法就够了。","cooked":"

同学，虽然你提问的格式很工整，但就你的问题内容而言我认为你是没有认真看实验文档的，以后还请注意。

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文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？
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如果你看得太快了，那么产生这个问题也不奇怪。在解释 QEM 简化的近似思路时，实验文档中一直强调该算法是根据 坍缩后的点到坍缩前网格的距离 来评判坍缩结果好坏的。

在问题 3.2 的回答中，我们明确提到该算法是用这个距离作为误差的，而给出式 3.2 之前，我们也说明了算法中使用距离的平方比有向距离更好。因此，计算单个面片误差估计值的公式就是式 3.2，即使用最优点 $\\mathbf{x}$ 和二次误差矩阵 $K$ 求距离平方：

\n\\text{cost}=(\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{v})^2=\\mathbf{u}^T(\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T)\\mathbf{u}=\\mathbf{u}^TK_f\\mathbf{u}\n

而根据矩阵乘法的分配率，将若干 $K_f$ 累加所得的边误差矩阵 $K$ 代入上式，结果与分别将每个 $K_f$ 代入后求和相同。所以式 3.2 同样适用于计算边坍缩误差估计值，在 3.2.2 节末尾已经说得很明确了。

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在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？
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这里你应该是完全理解错了计算面片 $K_f$ 的过程。文档中的原话是：“对任意的点 $\\mathbf{x}$ ，一个恒定的系数矩阵 $K_f$ 决定了 $\\mathbf{x}$ 到这个平面的距离”，因此 $K_f$ 这个矩阵只要知道面片的法向量 $\\mathbf{N}$ 就能根据式 3.1 和 3.2 求出来。

你求最佳位置的代码也是不对的。首先这里 $K$ 是一个四维方阵，但你要求解的方程组中并没有四个线性无关的未知数（齐次坐标形式下，点的最后一维应当是 1），因此你应该将系数矩阵 $K$ 改写成一个三阶而非四阶的线性方程组来求解。如果像你这样直接求解四阶方程组，最后又调用 normaliz 将四维解向量归一化，那么最后一维一定不是 1，此时直接取前三维得到的就不是三维空间中的坐标。

另外，因为矩阵 $K$ 必定是对称正定矩阵，你完全没有必要用 SVD 分解来求解方程组，随便用一种能解方程组的方法就够了。

\n","createdAt":"2023-11-25 12:53:04.876397","updatedAt":"2023-11-25 12:53:04.876397","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":0,"wordCount":738,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"isAnonymous":false,"user":{"id":1381,"username":"greyishsong","name":"greyishsong","avatarUrl":"/uploads/image/da/bc/dabc731b0311f59850625bbeb55ed969fcfac0430c5ef0f68441e5466b7aa496.avif","admin":false,"moderator":true,"signatureRaw":null,"signatureCooked":null}}],"hasMore":false,"lastReadPostNumber":1,"hasUrlPostNumber":false}