{"topic":{"id":7640,"title":"计算最优坍缩位置方法","slug":"topic","userId":1608,"categoryId":56,"createdAt":"2023-12-04 14:23:56.123336","bumpedAt":"2023-12-05 11:53:20.472148","views":241,"postsCount":2,"highestPostNumber":2,"likeCount":0,"closed":true,"pinned":false,"pinnedGlobally":false,"pinnedAt":null,"pinnedUntil":null,"isBanner":false,"excerpt":"计算最优坍缩位置时，需要解方程 Kx = 0，其中 K 为正定矩阵，那么这个方程不是只有零解么？","deletedAt":null,"isAnonymous":false,"isPrivate":false,"isMembersOnly":false,"category":{"id":56,"name":"计算机图形学","slug":"cg","color":"92278F"},"author":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null},"realAuthor":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null},"tags":[]},"posts":[{"id":18564,"postNumber":1,"raw":"计算最优坍缩位置时，需要解方程 Kx = 0，其中 K 为正定矩阵，那么这个方程不是只有零解么？","cooked":"

计算最优坍缩位置时，需要解方程 Kx = 0，其中 K 为正定矩阵，那么这个方程不是只有零解么？

\n","createdAt":"2023-12-04 14:23:56.317268","updatedAt":"2023-12-04 14:23:56.317268","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":0,"wordCount":41,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"isAnonymous":false,"user":{"id":1608,"username":"dhang","name":null,"avatarUrl":null,"admin":false,"moderator":false,"signatureRaw":null,"signatureCooked":null}},{"id":18648,"postNumber":2,"raw":"这里是我之前回答的时候说错了，矩阵 $K$ 是半正定而非正定的，非常抱歉。下面放一小段证明以便理解，感兴趣可以看一下。\n\n---\n\n我们首先回顾一下，面片的二次误差矩阵是 $K_f=\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T$ ，而向量 $\\mathbf{v}=(a, b, c, d)^T$ 对应着面片所在平面 $ax+by+cz+d=0$ 的法向量（但比法向量多了一维）。计算点 $\\mathbf{u}=(x, y, z, 1)$ 二次误差的公式\n\n$$\n\\text{cost}=(\\mathbf{v}^T\\mathbf{u})^2\n=\\mathbf{u}^T\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T\\mathbf{u}\n=\\mathbf{u}^TK_f\\mathbf{u}\n$$\n\n中， $\\mathbf{v}^T\\mathbf{u}$ 是一个内积，展开写就是 $ax+by+cz+d$ ，不难发现该内积和点到平面的距离\n\n$$\n\\text{distance}=\\frac{|ax+by+cz+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\n$$\n\n之间只差了一个系数 $1/\\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ，所以 cost 的含义就是距离的平方。而当我们实际计算的时候，所用的向量 $\\mathbf{v}$ 直接来自面片的法向量（已经单位化过），所以 $\\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$ ，cost 就直接等于 distance 了。根据几何直观，**一点到平面距离的平方总是大于等于零的，因此矩阵 $K_f$ 是对称半正定的**。\n\n由于顶点的二次误差矩阵 $K_v$ 是若干半正定矩阵 $K_f$ 之和，所以 $K_v$ 是半正定的。同理可得，边的二次误差矩阵 $K$ 也是半正定的。","cooked":"

这里是我之前回答的时候说错了，矩阵 $K$ 是半正定而非正定的，非常抱歉。下面放一小段证明以便理解，感兴趣可以看一下。

我们首先回顾一下，面片的二次误差矩阵是 $K_f=\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T$ ，而向量 $\\mathbf{v}=(a, b, c, d)^T$ 对应着面片所在平面 $ax+by+cz+d=0$ 的法向量（但比法向量多了一维）。计算点 $\\mathbf{u}=(x, y, z, 1)$ 二次误差的公式

\n\\text{cost}=(\\mathbf{v}^T\\mathbf{u})^2\n=\\mathbf{u}^T\\mathbf{v}\\mathbf{v}^T\\mathbf{u}\n=\\mathbf{u}^TK_f\\mathbf{u}\n

中， $\\mathbf{v}^T\\mathbf{u}$ 是一个内积，展开写就是 $ax+by+cz+d$ ，不难发现该内积和点到平面的距离

\n\\text{distance}=\\frac{|ax+by+cz+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\n

之间只差了一个系数 $1/\\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ，所以 cost 的含义就是距离的平方。而当我们实际计算的时候，所用的向量 $\\mathbf{v}$ 直接来自面片的法向量（已经单位化过），所以 $\\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$ ，cost 就直接等于 distance 了。根据几何直观，一点到平面距离的平方总是大于等于零的，因此矩阵 $K_f$ 是对称半正定的。

由于顶点的二次误差矩阵 $K_v$ 是若干半正定矩阵 $K_f$ 之和，所以 $K_v$ 是半正定的。同理可得，边的二次误差矩阵 $K$ 也是半正定的。

\n","createdAt":"2023-12-05 11:53:20.472148","updatedAt":"2023-12-05 11:53:20.472148","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":0,"wordCount":328,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"isAnonymous":false,"user":{"id":1381,"username":"greyishsong","name":"greyishsong","avatarUrl":"/uploads/image/da/bc/dabc731b0311f59850625bbeb55ed969fcfac0430c5ef0f68441e5466b7aa496.avif","admin":false,"moderator":true,"signatureRaw":null,"signatureCooked":null}}],"hasMore":false,"lastReadPostNumber":1,"hasUrlPostNumber":false}